二路归并理论

归并排序(MergeSort),又称合并排序.

【工作原理】假如有7个记录，要对这7记录进行排序
1、把它这些记录每组2个(最后一组有可能只有1个)，一共4组
2、分别把这4组排序好，再把这4组两两合并为1组，得到2组。
3、在合并的同时排序，使得得到的合并的后的每组都是有序的
4、将最后这两组合并成一组有序的序列。

【正确性】归并排序是一个典型的分治合并算法，对一个大小的记录序列排序，可以把记录划分成2个记录序列，如果这两个子序列还是不能直接排序，则一真划分，直到序列剩下2个素或者1个元素。分治完毕后再依次两两，直至合并成一个有序表。
void MergeSort(int array[], int first, int last)
  {
  int mid = 0;
  if(first<last)
  {
  mid = (first+last)/2;
  MergeSort(array, first, mid);//二分递归到最低层处，在二分处进行分割，对二分的左子树进行递归，如果不满足first<last，则返回在分割处的mid。
  MergeSort(array, mid+1,last);//对二分的右子树进行递归
  Merge(array,first,mid,last);//合并，在何处分割，就在何处进行合并
  }
  }
//归并部分
void Merge(int array[],int p,int r)
{
  int i,k;
  int begin,end1,begin2,end2;
  begin1=p;
  end1=q;
  begin2=q+1;
  end2=r;
  k=0;
  while(begin1<=end1)&&(begin2<=end2)
  {
    if(array[begin1]<array[begin2])
      {
    temp[k]=array[begin1];
    begin1++;
      }
    else
      {
    temp[k]=array[begin2];
    begin2++;
      }
    k++;
  }
  while(begin1<=end1)
    {
      temp[k++]=array[begin1++];
    }
  while(begin2<=end2)
    {
      temp[k++]=array[begin2++];

    }

　　for (i = 0; i < =(r - p); i++)
　　array[p+i] = temp[i];

}
如果问题规模为T(n),则分治过程中分成了两个子问题每个子问题的规模是1/2 * T(n/2)
合并排序的运行时间可以分解为：

分解：就是算出中间位置
解决：递归解决两个子问题，时间为1/2 * T(n/2)
合并：我们注意到，在一个含有n个元素的子数组上，Merge过程的运行时间为O(n),

所以得出下面等式

　　vo

每一层的总规模是cn,一共有logn + 1层，那么复杂度为cn*logn,所以得出O(nlogn),在演示的过程也可以看归并排序也是一种稳定的排序算法。同时不难发现合并排序的空间复杂度是为O(n)

求逆序数：算法用到归并排序

定义
　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。
　　也就说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。
C++归并排序求逆序数
　　void mergeSort(long first, long last)
　　{
　　if(first < last) {
　　long mid = (first + last) / 2;
　　mergeSort(first, mid);
　　mergeSort(mid+1, last);
　　merge(first, mid, last);
　　}
　　}
　　void merge(long p, long q, long r)
　　{
　　long i, j = 0;
　　long beginA = p, endA = q, beginB = q+1, endB = r;
　　while(beginA <= endA && beginB <= endB) {
　　if(a[beginA] <= a[beginB]) {
　　b[j++] = a[beginA++];
　　} else {
　　b[j++] = a[beginB++];
　　change += q - beginA + 1;
　　}
　　}
　　while(beginA <= endA) {
　　b[j++] = a[beginA++];
　　}
　　while(beginB <= endB) {
　　b[j++] = a[beginB++];
　　}
　　for(i = 0; i < j; i++) {
　　a[p+i] = b[i];
　　}
　　}