《Algorithms》第5章：Greedy Algorithms 学习笔记

Chapter 5：Greedy Algorithms

1、Greedy algorithms build up a solution piece by piece, always choosing the next piece that offers the most obvious and immediate benefit.

2、每步只看眼前效果最好的做法就是贪婪，我们希望通过局部最优达到全局最优。贪婪算法只找到一种可行解，但不一定是最优解。

3、最小生成树

• 性质一：Removing a cycle edge can not disconnect a graph
• 性质二：A tree on n nodes has n-1 edges.
  树是连通且没有环的无向图。树因为其结构的简单性而具有很多应用。例如，n个结点的树有且仅有n-1条边。n个结点和n-1条边构成的图不一定是树，但如果此图是连通的，则一定是树
• 性质三：Any connected, undirected graph G = (V, E) with |E| = |V| - 1 is a tree.
• 性质四：An undirected graph is a tree if and only if there is a unique path between any pair of nodes.
  
  

4、割性质（Kruskal和prim算法的基础）：假定边集X是图G = (V, E)的某个最小生成树的一部分。在图G中挑选任意一组结点S，使得X里没有边横跨S和V-S两个结点集合。假如e是所有横跨这两个集合权重最小的，则X∪{e}是某个最小生成树的一部分。

5、最小生成树的算法

• Kruskal算法
• • 从边的角度出发，每次选择权值最小的边（贪婪）
  • 如何判断是否循环？用disjoint set
    
    
• Prim算法
  
• • 从顶点角度出发，步骤为
  • • 初始时，生成树的结点集U为空
    • 随意选择一个结点，加入结点集，然后重复下列工作直至U=V
    • 选择两个端点分别位于U和V-U中的代价最小的边(u, v)（贪婪）
    • 把(u, v)加入生成树的边集，v加入到U
  • Prim最小生成树算法和Dijkstra最短路径算法十分相似。Prim选择最小的边，Dijkstra选择最小的距离。

6、贪婪算法的典型应用

• 哈夫曼编码
• • 先选择两个频率最低的字母（贪婪），将其合并为一棵子树，并将该子树的频率记为组成它的两个字母的频率之和
  • 如果将开始时的每个字母看成一棵子树，则在上步后子树个数少一
  • 重复上述上述步骤，直到只有一棵子树为止
• Horn formulas
• Set Cover
• • 定义：给定一个集合B和一组B中的子集合S1,S2...Sm,如何找出改子集中的一组数量最小的子集，使得B中的所有元素均包括在选取的这组子集中？
  • 贪婪策略：每次选取包含最多尚未被覆盖的子集，直到B中虽有元素被覆盖为止
  • 不是最优策略，但可以证明:此策略选取的子集个数最多不会超过最优结果的ln(n)倍，其中|B| = n
• 事件序列问题
• • 定义：给定一系列事件，已知开始时间和结束时间，对于给定一段时间，怎么安排事件，使得不重叠事件发生的数目最多？
  • 贪婪策略：按结束时间排序，每次都选择最早结束且不冲突的事件