马尔可夫决策过程Markov Decision Process,MDP - Kintoki

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1. 马尔可夫模型的几类子模型

我想大家一定听说过马尔科夫链(Markov Chain)， 搞机器学习的也都知 道隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)。它们具有的一个共同性质就是马尔可夫性(无后效性)，也就是指系统 的下个状态只与当前状态信息有关，而与更早之前的状态无关。

马尔可夫决策过程(MDP)也具有马尔可夫性，与上面不同的是MDP考虑了动作，即系统下个状态不仅和当前的状态有关，也和当前采取的动作有关。还是举下棋的例子，当我们在某个局面（状态s）走了一步(动作a)，这时对手的选择（导致下个状态s’）我们是不能确定的，但是他的选择只和s和a有关，而不用考虑更早之前的状态和动作，即s’是根据s和a随机生成的。

我们用一个二维表格表示一下，各种马尔可夫子模型的关系就很清楚了：

不考虑动作	考虑动作
状态完全可见	马尔科夫链(MC)	马尔可夫决策过程(MDP)
状态不完全可见	隐马尔可夫模型(HMM)	不完全可观察马尔可夫决策过程(POMDP)

2. 马尔可夫决策过程

一个马尔可夫决策过程由一个四元组构成(S, A, P sa , R)   [ 注]

• S: 表示状态集（states）
• A:表示一组动作（actions）
• P sa : 表示状态转移概率。P sa  表示的是在当前s ∈ S状态下，经过a ∈ A作用后，会转移到的其他状态的概率分布情况。比如，在状态s下执行动作a，转移到s’的概率可以表示为p(s’|s,a)
• R: S×A→ℝ，R是回报函数（reward  function），回报函数有时也写作状态S的函数（只与S有关），这样的话，R可以简化为R: S→ℝ。

MDP 的动态过程如下：某个智能体(agent)的初始状态为s 0 ，然后从 A 中挑选一个动作a 0 执行，执行后，agent 按P sa 概率随机转移到了下一个s 1 状态，s 1 ∈ P s 0a 0。然后再执行一个动作a 1 ，就转移到了s 2 ，接下来再执行a 2 …，我们可以用下面的图表示状态转移的过程。

如果回报r是根据状态s和动作a得到的，则MDP还可以表示成下图：

3. 值函数(value function)与贝尔曼方程(Bellman equation)

上篇我们提到增强学习学到的是一个从环境状态到动作的映射（即行为策略），记为策略π: S→A。而增强学习往往又具有延迟回报的特点: 如果在第n步输掉了棋，那么只有状态s n 和动作a n 获得了立即回报r(s n ,a n )=-1，前面的所有状态立即回报均为0。所以对于之前的任意状态s和动作a，立即回报函数r(s,a)无法说明策略的好坏。因而需要定义值函数(value function，又叫效用函数)来表明当前状态下策略π的长期影响。

常见的值函数有以下三种：

其中

a)是采用策略π的情况下未来有限h步的期望立即回报总和；

b)是采用策略π的情况下期望的平均回报；

c)是值函数最常见的形式，式中γ∈[0,1]称为折合因子，表明了未来的回报相对于当前回报的重要程度。特别的，γ=0时，相当于只考虑立即不考虑长期回报，γ=1时，将长期回报和立即回报看得同等重要。接下来我们主要讨论的是第三种形式

定义状态值函数（值函数）如下：

定义动作值函数（Q函数）如下：

根据动态规划相关理论，给定MDP模型M=(S, A, P, γ, R)和策略π:S→A，则状态值函数V π 和动作值函数Q π 满足以下的贝尔曼方程：

而最优策略可以由下式表示：

即我们寻找的是在任意初始条件s下，能够最大化值函数的策略π*。

与最优策略π*对应的状态值函数V*与动作值函数Q*之间存在如下关系：

  

4. 立即回报，（状态）值函数，Q函数的例子

上面的概念可能描述得不太清晰，接下来举例说明，如图所示是一个格子世界，我们假设agent从左下角的start点出发，右上角为目标位置，称为吸收状态(Absorbing state)，对于进入吸收态的动作，我们给予立即回报100，对其他动作则给予0回报，折合因子γ的值我们选择0.9。

1.立即回报r(s,a)如下所示，每个格子代表一个状态s，箭头则代表动作a，旁边的数字代表立即回报，可以看到只有进入目标位置的动作获得了回报100，其他动作都获得了0回报。

 

2. Q(s,a)值如下所示

3. 值函数V(s)如下所示，对比上图可以看到 

至此我们了解了马尔可夫决策过程的基本概念，知道了增强学习的目标（获得最佳策略π*），下一篇开始介绍求解最优策略的方法。

发现写东西还是蛮辛苦的，希望对大家有用。另外自己也比较菜，没写对的地方欢迎指出哈~~

[注]采用折合因子作为值函数的MDP也可以定义为五元组M=(S, A, P, γ, R)。也有的书上把值函数作为一个因子定义五元组。还有定义为三元组的，不过MDP的基本组成元素是不变的。

参考资料：

[1] R.Sutton et al. Reinforcement learning: An introduction , 1998

[2] T.Mitchell. 《机器学习》，2003

[3] 金卓军，逆向增强学习和示教学习算法研究及其在智能机器人中的应用[D]，2011

[4] Oliver Sigaud et al，Markov Decision Process in Artificial Intelligence[M], 2010