stress majorization的推导

我们将一个二维图看成一个动能系统，其中每两个结点之间有一个作用力，我们可以将这个作用力看成是弹簧的弹力，要使整个动能系统达到动能最小，达到平衡状态.

根据Kamada and Kawai[15]中得到：

i<j是因为我们研究的是无向图，不必重复计算。

dij(X)表示结点i与j的欧几里德距离，因为是一张二维图，那么他们在坐标系中，dij(X)表示他们的距离，表示i到j的理想距离，我们用图论距离（最短距离）表示。

wij是一个dij的-a次方，a一般取2，表示是一张二维布局的图。

将其按完全平方展开，得到了：

因为我们要对X的位置进行变换，所以将X看做成一个未知数，那么这个函数的曲面是凹凸不平的，通过计算机，无法得到一个准确的最小值，所以我们将对这个式子进行变换。

对于第一项，都是我们已经可以得到的值，所以将他看成一个常量，不必考虑。

第二项，通过Laplacian系数LW，其实LW是一个n×n的矩阵，可以将其转换为Tr(X‘(LW)X)，X’表示X的倒置，Tr表示矩阵的迹，是主对角线上元素之和。而拉普拉斯系数LW有，当i不等于j时LW=wij，当i等于j时LW=wik之和(i≠k，k=1,2,3...n)。

 

第三项：

当  为:

for

并且  for

并且 .

综上所述：

对于其算法，可以由共轭梯度来求解，也可以：

对于第 k^th 步，我们设置

 

当 满足结束。∈一般取10的-4次方。