线性分组码

线性分组码的基本概念：

 

线性分组码（n，k）中许用码字（组）为2^k个。定义线性分组码的加法为模2和，乘法为二进制乘法。即1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0；1×1=1、1×0=0、0×0=0、0×1=0。且码字与码字的运算在各个相应比特位上符合上述二进制加法运算规则。

 

线性分组码具有如下性质（n，k）的性质：

 

1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。

 

2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

 

对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2^r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。

 

下面我们通过（7，4）分组码的例子来说明如何具体构造这种线性码。设分组码（n，k）中，k = 4，为能纠正一位误码，要求r≥3。现取r＝3，则n＝k＋r＝7。我们用a₀a_la₂a₃a₄a₅a₆表示这7个码元，用S₁、S₂、S₃表示由三个监督方程式计算得到的校正子，并假设三位S₁、S₂、S₃校正子码组与误码位置的对应关系如表12.2所示。

 

表12.2 （7，4）码校正子与误码位置

S1S2S3 误码位置 S1S2S3 误码位置 001 a0 101 a4 010 a1 110 a5 100 a2 111 a6 011 a3 000 无错

 

由表可知，当误码位置在a2、a4、a5、a6时，校正子S1＝1；否则S1＝0。因此有S1＝a6⊕a5⊕a4⊕a2，同理有S2＝a6⊕a5⊕a3⊕a1和S3＝a6⊕a4⊕a3⊕a0。在编码时a6、a5、a4、a3为信息码元，a2、a1、a0为监督码元。则监督码元可由以下监督方程唯一确定

即

由上面方程可得到表12.3所示的16个许用码组。在接收端收到每个码组后，计算出S₁、S₂、S₃，如果不全为0，则表示存在错误，可以由表12.2确定错误位置并予以纠正。例如收到码组为0000011，可算出S₁S₂S₃=011,由表12.2可知在a₃上有一误码。通过观察可以看出，上述（7，4）码的最小码距为d_min＝3，它能纠正一个误码或检测两个误码。如果超出纠错能力则反而会因“乱纠”出现新的误码。

 

 

 

 

表12.3 （7，4）许用码组

信 息 位	监 督 位	信 息 位	监 督 位
a6a5a4a3	a2a1a0	a6a5a4a3	a2a1a0
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111	000 011 101 110 110 101 011 000	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	111 100 010 001 001 010 100 111

上述方法构造的能纠正单个误码的线性分组码又称为汉明码。它具有以下一些特点：码长n＝2^m－1，最小码距为d＝3，信息码长k＝2ⁿ－m－1，纠错能力t＝1，监督码长r＝n－k＝m。这里m为≥2的正整数。给定m后，就可构造出汉明码（n，k）。

（7，4）汉明码的编译码仿真：

 

图12.1所示为（7，4）汉明码的编码器电路原理图，图12.2为对应的译码器电路原理图。根据上述两图可构建如图12.3所示的仿真原理图。该仿真原理图包含两个子系统，分别是（7，4）汉明码的编码器和译码器。仿真时的信号源采用了一个PROM，并由用户自定义数据内容，数据的输出由一个计数器来定时驱动，每隔一秒输出一个4位数据（PROM的8位仅用了其中4位），由编码器子系统编码转换后成为7位汉明码，经过并串转换后传输，其中的并串、串并转换电路使用了扩展通信库2中的时分复用合路器和分路器图符，该合路器和分路器最大为16位长度的时隙转换，这里定义为7位时隙。此时由于输入输出数据的系统数据率不同，因此必须在子系统的输入端重新设置系统采样率，将系统设置为多速率系统。因为原始4位数据的刷新率为1Hz，因此编码器的输入端可设置重采样率位10Hz，时分复用合路器和分路器的数据帧周期设为1秒，时隙数位7，则输出采样率为输入采样率的7倍，即70Hz。如果要加入噪声，则噪声信号源的采样率也应设为70Hz。图12.3是（7，4）汉明码编码器的仿真子系统原理图，图12.4是其对应的译码器的仿真子系统原理图。图12.5为经过并串转换后的(7,4)汉明码输出波形图，这里仅设置了4秒时间长度的仿真，输出的4个数据为0、1、3、4，对应的（7，4）汉明码码字为（0000000）、（0001011）、（0011110）、（0100110），注意串行传输的次序是先低后高的次序（LSB）。

当然，我们也可以不通过并串转换，直接并行传输、译码。这样可以在7位汉明码并行传输时人为对其中的一位进行干扰，并观察其纠错的情况。通过仿真实验可以发现，出现两位以上错误时汉明码就不能正确纠错了。因此，在要求对多位错误进行纠正的应用场合，就要使用别的编码方式了，如BCH码、RS码、卷积码等。

图12.6 输入为0、1、3、4的（7，4）汉明码输出波形图