hdu 1907 John(取火柴游戏)

尼姆博奕(Nimm Game): 有三堆各有若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。

      用(a , b , c)表示某种局势,首先(0, 0 , 0)显然是奇异局势(即后取得人一定取光物品),第二种奇异局势是(0 , n , n),只要与对手拿走同样多的物品,最后都将导致(0 , 0 , 0)。第三种(1 , 2 , 3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变成(0 , n , n)的情况。

用(+)表示异或(也叫按位模2加)运算,对于任何奇异局势,a1 (+) a2 (+) ……(+) an = 0。


取火柴的游戏
题目1:今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法。 


题目2:今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为负,求必胜的方法。


定义:若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示;否则, 为利己态,用S表示。

[定理1]:对于任何一个S态,总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

[定理2]:T态,取任何一堆的若干根,都将成为S态。

[定理 3]:S态,只要方法正确,必赢。

[定理4]:T态,只要对方法正确,必败。


接着来解决第二个问题。
定义:若一堆中仅有1根火柴,则被称为孤单堆。若大于1根,则称为充裕堆。
定义:T态中,若充裕堆的堆数大于等于2(若充裕堆数为1,则最后异或一定不为0 ,因为高位只有一个1,异或结果一定不为0),则称为完全利他态,用T2表示;若充裕堆的堆数等于0,则称为部分利他态,用T0(说明孤单堆的数目一定是偶数,否则异或结果定不为0,且因为是偶数,后拿的一定会最后取光所有物品,在第二个问题中先拿的是赢家)表示。


孤单堆的根数异或只会影响二进制的最后一位,但充裕堆会影响高位(非最后一位)。一个充裕堆,高位必有一位不为0,则所有根数异或不为0。故不会是T态。

[定理5]:S0态,即仅有奇数个孤单堆,必败。T0态必胜。 

[定理6]:S1态( 一堆充裕堆,x个孤单堆),只要方法正确,必胜。 

证明:
若此时孤单堆堆数为奇数,把充裕堆取完 , 变成S0;

否则有偶数个孤单堆,将充裕堆取得剩一根。这样,就变成奇数个孤单堆即 S0,由对方取。

由定理5 ,必胜。

[定理7]:S2态不可转一次变为T0态。

[定理8]:S2态可一次转变为T2态。 

(若充裕堆>2 (1:充裕堆为偶数,孤单堆为奇数,将一个孤单堆取完),(2:充裕堆为奇数,若孤单堆为偶数,则取完一个充裕堆,若孤单堆为奇数,则取得一个充裕堆剩1个。))

[定理9]:T2态,只能转变为S2态或S1态。( 若充裕堆>2则可转变为S2 ,若充裕堆=2,则可转变为S1)。

[定理10]:S2态,只要方法正确,必胜.

证明:
方法如下: 
      1)  S2态(),就把它变为T2态。(由定理8) 
      2)  对方只能T2转变成S2态或S1态(定理9)
           若转变为S2,  转向1) 
           若转变为S1,  这己必胜。(定理5)

定理11]:T2态必输。

综上所述,若是    S2,S1,T0 。 则先下的人必胜。

                  若是   T2,S0 。则先下的人必输。

两题比较:

第一题(全过程): S2 ->T2 ->S2->T2->... ...->T2->S1->T0(偶数个孤单堆)->...->S0->T0 (全0)。

第二题(全过程):S2->T2->S2->T2->  ……  ->T2->S1->S0(技术个孤单堆)->T0->S0->……->S0->T0(全0)

S1态可以转变为S0态(第二题做法),也可以转变为 
T0(第一题做法)。哪一方控制了S1态,他即可以有办法使自己得到最后一根(转变为 
T0),也可以使对方得到最后一根(转变为S0)。 
  所以,抢夺S1是制胜的关键! 
  为此,始终把T2态让给对方,将使对方处于被动状态,他早晚将把状态变为S1.

代码:

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
int main()
{
    int t , a[50] ,n;
    int sum1, sum2 ,ans;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        sum1=sum2=ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++)   
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            if(a[i]>=2) sum1++;
            else sum2++;
            ans^=a[i]; 
        } 
        if(ans!=0 && sum1!=0 || ans==0 && sum1==0)
        printf("John\n"); //因为最开始局势为S2,则先下的人一定会先夺得局势S1(所以可以省略) 
        else if(ans==0 && sum1>=2 || ans!=0 && sum2%2!=0 && sum1==0)
        printf("Brother\n"); 
    }
    return 0;
}




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