理解重要性采样

重要性采样是非常有意思的一个方法。我们首先需要明确，这个方法是基于采样的，也就是基于所谓的蒙特卡洛法(Monte Carlo)。蒙特卡洛法，本身是一个利用随机采样对一个目标函数做近似。例如求一个稀奇古怪的形状的面积，如果我们没有一个解析的表达方法，那么怎么做呢？蒙特卡洛法告诉我们，你只要均匀的在一个包裹了这个形状的范围内随机撒点，并统计点在图形内的个数，那么当你撒的点很多的时候，面积可以近似为=(在图形内的点的个数/总的点个数)，当你撒的点足够多的时候，这个值就是面积。 这里假设我们总有办法（至少要比找解析的面积公式简单）求出一个点是否在图形内。另一个例子，如果你要求一个稀奇古怪的积分，没有解析办法怎么办？蒙特卡洛法告诉你，同样，随机撒点，你一定可以知道f(xi)的值，那么这个积分的解可以表示为=(b-a)/点的个数*sigma[f(xi)]，其中b,a为积分的上下限。

好了，知道了蒙特卡洛法，下面来说重要性采样的前提一些内容。

很多问题里，我们需要知道一个随机变量的期望E(X)，更多时候，我们甚至需要知道关于X的某一个函数f(X)的期望E[f(X)]。问题来了，如果这个X的概率分布超级特么的复杂，你准备怎么做呢？积分么？逐点求和么？听上去挺不现实的。这时蒙特卡洛法跑出来告诉你，来来来，咱只要按照你这个概率分布，随机的取一些样本点，再sigma(p(xi)*f(xi))不就可以近似这个期望了么。但问题又来了，你怎么”按照这个概率分布“去撒点呢？

经典蒙特卡洛法是这么做的，首先把这个概率分布写成累计概率分布的形式，就是从pdf写成cdf，然后在[0,1]上均匀取随机数(因为计算机只能取均匀随机数)，假如我们取到了0.3，那么在cdf上cdf(x0)=0.3的点x0就是我们依据上述概率分布取得的随机点。

举个具体例子吧，例如我想按照标准正态分布N(0,1)取10个随机数，那么我首先在[0,1]上按照均匀分布取10个点

0.4505    0.0838    0.2290    0.9133    0.1524    0.8258    0.5383    0.9961    0.0782    0.4427

然后，我去找这些值在cdf上对应的x0，如下

-0.1243   -1.3798   -0.7422    1.3616   -1.0263    0.9378    0.0963    2.6636   -1.4175   -0.1442

那么上述这些点，就是我按照正态分布取得的10个随机数。

OK，你按照上述方法去找cdf吧。

我如果这么说，你肯定会疯掉。因为，如果概率分布都超级特么的复杂，累计概率分布岂不是会更特么不知道怎么求了！

 

然后，我们开始了重要性采样的介绍。

让我们回顾一下期望的求法E(f(x))=sum( p(x) * f(x) ) dx。那么，现在我们引入另一个概率分布s(x)，相比于p(x)，s(x)是非常简单能找到cdf的。那么我们变形一下E(f(x)) = sum( p(x) * f(x) / s(x) * s(x) ) dx ，再仔细看看，这个求f(x)的期望变成了，求在s(x)分布下，p(x)*f(x)/s(x)的期望。

重要性采样的关键就在这里，把对f(x)不好求的期望，变成了一个在另一个分布下相对好求的期望。

这样，s(x)能找到cdf，那么就用上面提到的那个方法去采样，然后对应的，求出h(x0)=p(x0)*f(x0)/s(x0)的值，最后再sigma(s(xi)*h(xi))就可以近似E(f(x))了。

举个例子：就上面那个求积分的问题，用重要性采样解释还可以有很好玩儿的内容。上面求积分时，我们是用的均匀采样的方法，注意这个时候自变量X已经被我们弄成了随机变量，f(X)就是这个随机变量的函数。但是，大家可能会注意到这个问题：如果这个f(x)长的比较特别，例如是个高斯函数N(a,b^2)，只不过它的方差b特别的小，但是自变量范围特别大。这时的均匀采样，大多数点都会落在了概率很低的地方，落在a附近的点很少。这样，均匀随机采样法得到的期望很有可能会和真实值差得非常远。（唉，这个问题想不明白的画图，还想不明白的做实验）。那么，此时，如果我们换一个概率，不用均匀采样法，用，例如说N(a,b^2)分布，用上述方法重要性采样一下。那么落在a附近的点会超级的多，这样，得到的期望会很好的近似真实值。

当然，上面那个分布是我随口说的，大家都希望那个重要性采样的概率函数可以无限的逼近真实分布。但既然能表示真实分布，我们就知道cdf了，谁还需要重要性采样呢？所以这只是理论情况。实际上，一般大家用的方法都会根据具体的情况选择。我所见到的，大多都是利用某一种距离/相似度度量函数，然后把这些距离利用某种方法变换成概率分布。这么说还是太抽象，举例吧：

我有一个特定人的模板，我希望在一个给定的区域内寻找这个人。那么粒子的状态就是位置坐标(x, y)和大小(w,h)，每个粒子的权重：

首先，求这个粒子的直方图，再和模板求一个距离，巴式距离啦，EMD啦，随你选。假设这个值为x。

然后，计算K*exp^(-alpha*x)。这个方法被称为likelihood map，就是说分数越小则概率越高，分数越大概率越低。反正K和alpha积分从0到正无穷的和是1就可以了。这样每个点都有了一个概率值。

且慢，现在还不是概率值。所有粒子的和不是1，所以只能叫权重值。然后再归一化一下，就成为了概率值。

最后这个值就是我们要找的s(x)。p(x)，f(x)，s(x)都有了，这样我们就可以比较轻易的利用s(x)的分布撒点，求期望了。

 

当然，在很多文章里这些概率都是带着条件概率的，有的利用马尔科夫性，只和前一帧的状态以及观测相关，有的则写成和以前全部状态相关。但是原理基本是一致的。s(x)的选取也各不相同，具体问题具体分析了。

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