扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法

　　欧几里德算法
　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
　　定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
　　证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
　　假设d是a,b的一个公约数，则有
　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
　　因此d是(b,a mod b)的公约数
　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
　　d | b , d |r ，但是a = kb +r
　　因此d也是(a,b)的公约数
　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
　　欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　if(b == 0)
　　return a;
　　return Gcd(b, a % b);
　　}
　　当然你也可以写成迭代形式：
　　int Gcd(int a, int b)
　　{
　　while(b != 0)
　　{
　　int r = b;
　　b = a % b;
　　a = r;
　　}
　　return a;
　　}
　　本质上都是用的上面那个原理。
　　补充: 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现：
　　int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
　　{
　　if(b == 0)
　　{
　　x = 1;
　　y = 0;
　　return a;
　　}
　　int r = exGcd(b, a % b, x, y);
　　int t = x;
　　x = y;
　　y = t - a / b * y;
　　return r;
　　}
　　把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
　　可以这样思考:
　　对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
　　由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
　　那么可以得到:
　　a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
　　bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
　　ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
　　因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)
　　补充：关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法
　　对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
　　上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
　　p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
　　q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
　　至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。