算法-----劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据(转)

重要公式及其推导

劳斯-赫尔维茨（Routh-Hurwitz）稳定判据

判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。所以在实际应用中提出了各种工程方法，它们无需求特征根，但都说明了特征根在复平面上的分布情况，从而判别系统的稳定性。本节主要介绍代数判据。 （一） 系统稳定性的初步判别 设已知控制系统的特征方程 式中所有系数均为实数，且a0>0 系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。可简单证明如下： 将特征方程写成用特征根表达的形式 （3-1） 假如所有特征根均在S平面的左半部，即-σi<0，-αk<0，则式（3-1）中的σi<0，αk<0 （i=1，…，q；k=1，…，l；q+2l=n），若把式（3-1）的乘积展开，s多项式的各项系数必然均大于零。 根据这一原则，在判别系统稳定性时，可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。如果有任何一项系数为负数或等于零（即缺项），则系统是不稳定或临界稳定的。假如只是判别系统是否稳定，到此就不必作进一步的判别了。如果系数均为正数，对二阶系统来说肯定是稳定的（必要且充分），但对二阶以上的系统，还要作进一步的判别。 （二） 劳斯判据（Routh） 将系统的特征方程写成如下标准形式 并将各系数组成如下排列的劳斯表： sn a0 a2 a4 a6 ... sn-1 a1 a3 a5 a7 ... sn-2 b1 b2 b3 b4 ... sn-3 c1 c2 c3 c4 ... . . . . . . . . . . . . . . .   s2 e1 c2       s1 f1 e2       s0 g1         表中的有关系数为 ……………………… 系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 ……………………… 这一计算过程一直进行到n行为止。为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，这时并不改变稳定性的结论。 列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情况。 1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一列都具有正号。 2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明这里有一个符号变化。 3．某行所有各项系数均为零的情况，如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和（或）一些共轭虚数极点。为了写出下面各行，将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数为零，而且没有其它项时，可以像情况2所述那样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中其余各项。 （三） 赫尔维茨判据（Hurwitz） 分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。 将系统的特征方程写成如下标准形式 现以它的各项系数写出如下之行列式： 行列式中，对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。每行以对角线上各元为准，写对角线左方各元时，系数a的脚标递增；写对角线右方各元时，系数a的脚标递减。当写到在特征方程中不存在系数时，则以零来代替。 赫尔维茨判据描述如下：系统稳定的充分必要条件在a0>0的情况下是，上述各行列式的各阶主子或均大于零，即对稳定系统来说要求 赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同，但实际结论是相同的。