多校第6场 HDU 3893&&JLU Drawing Pictures(数位DP变形,矩阵连乘)

题目的要求是用1-6六种颜色排成一列
而且必须对称。相邻不同色。不出现123456

可以肯定的是n偶数的时候必然无解,
因为最中心两个无法满足相邻不同色的要求
 
对于n奇数的情况因为是对称考虑前n/2+1的部分
这部分必然满足相邻不同色,不出现123456
尤其要注意的是不能出现654321
同时满足这些条件的排列对称过去也必然满足题目条件
 
这很显然可以用DP来解。
令D[i,x]表示长度为i以x结尾的方案数
其中x=1,2,3,4,5,6,12,123,1234,12345,65,654,6543,65432,
 
则有如下递推式
D[i,x]=sum(D[i-1,y]) x=2...5 y=1...6,y!=x
D[i,1]=D[i-1,2]+...+D[i-1,6]-D[i-1,65432]
D[i,6]=D[i-1,1]+...+D[i-1,5]-D[i-1,12345]
D[i,12]=D[i-1,1]
D[i,123]=D[i-1,12]
D[i,1234]=D[i-1,123]
D[i,12345]=D[i-1,1234]
D[i,65]=D[i-1,6]
D[i,654]=D[i-1,65]
D[i,6543]=D[i-1,654]
D[i,65432]=D[i-1,6543]
 
这样可以递推求解了。但是巨大的n使得简单的递推必然超时
考虑到这是线性递推式我们可以使用矩阵乘法求解
也就是说把DP的转移方程写成矩阵的形式,然后利用矩阵的快速幂计算
这样算法的复杂度为(14^3*logn)

最后要注意,因为矩阵中有负数,正常来讲最后答案一定是正的,但是在取模时正的数可能变成比负的小的数,会出现负解,所以要在最后加个模数。

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int maxn=14;
const long long mod=112233;
struct Matrix{
    long long mat[maxn][maxn];
}A,B,E,K;

void debug (const Matrix &a)
{
    for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)
     for (int j=0 ; j<maxn ; ++j)
     printf("%lld%s",a.mat[i][j],j==13?"\n":"  ");
}

Matrix operator * (const Matrix & m1,const Matrix & m2)
{
    Matrix res;
    for(int i=0;i<maxn;i++)
        for(int j=0;j<maxn;j++)
        {
            res.mat[i][j]=0;
            for(int k=0;k<maxn;k++)
            {
                res.mat[i][j]+=m1.mat[i][k]*m2.mat[k][j];
            }
            res.mat[i][j]%=mod;
        }
    //debug(res);
    //puts("");
    return res;
}

void init()
{
    memset (A.mat , 0 , sizeof(A.mat));
    memset (E.mat , 0 , sizeof(E.mat));
    for (int i=0 ; i<6 ; ++i)
     for (int j=0 ; j<6 ; ++j)
     {
         if(i!=j)A.mat[i][j]=1;
     }
    A.mat[0][13]=-1;
    A.mat[5][9]=-1;
    A.mat[6][0]=1;
    A.mat[7][6]=1;
    A.mat[8][7]=1;
    A.mat[9][8]=1;
    A.mat[10][5]=1;
    A.mat[11][10]=1;
    A.mat[12][11]=1;
    A.mat[13][12]=1;
    for (int i=0 ; i<maxn ; ++i)
     E.mat[i][i]=1;
} 

int main ()
{
    init ();
    int n;
    //freopen ("input.txt","r",stdin);
    //freopen ("output.txt","w",stdout);
    while (~scanf("%d",&n))
    {
        if(!(n&1))
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        n=(n-1)>>1;
        
        /*debug(A);
        puts("");
        debug(E);*/
        //printf("%d\n",n);
        for (B=A,K=E; n ; n>>=1 , B=B*B)if(n&1)K=B*K;
        debug(K);
        int ans=0;
        for (int i=0 ; i<6 ; ++i)
         for (int j=0 ; j<6 ; ++j)
        ans=(ans+K.mat[i][j])%mod;
        printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    }
    return 0;
}



 

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