图像处理特征不变算子系列之Harris算子（二）
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在前面的博文中，介绍了Moravec算子，并对moravec算子的不足也进行了简单的描述，具体请参考：图像处理特征算子系列之Moravec算子（一）。Harris算子针对Moravec算子的不足，提出了以下的改进：
1）Moravec算子各向异性响应（Anisotropic Response of Operator）
Moravec算子仅仅在8个方向（水平、垂直和四个对角方向）计算灰度变化，为了对其扩展，有必要设计一个可以在任何方向对灰度变化进行测度的函数。1988年，Harris和Stephen通过对Moravec算子进行展开，推导得到了Plessey算子，也即Harris算子。
我们先来看看与Harris相关的背景知识。通常，Prewitt算子被用来对图像的梯度进行近似。然而，在实际应用中，一阶梯度通过下图中的公式来进行近似：
对Morevec算子（如果对Moravec算子也不清楚的地方，请参考博主前一篇对Morevec算子的讲解）进行分析可以得到：Two Morevec windows中对应像素差的和可以作为图像梯度的合理近似。我们再来看下图：
通过对上图的分析，我们有可以进一步得到：morevec算子中的灰度变化可以采用图像梯度进行近似。
通过上面的分析，灰度的变化可以表示为图像梯度的函数，公式表示如下：
其中，（u,v)表示滑动，x方向为（1,0），y方向为（0,1），微分的计算如上图所示。
到这里，大家非常明了：上式可以对moravec算子中的灰度变化计算进行精确的逼近。但是又与Moravec算子中灰度变化不同的是通过合理的选择（u，v）可以对任何方向的灰度变化进行测度。
2）噪声响应 （Noise Response）
在Moravec算子中，滑动窗采用的是方形的（square window），方形窗使得不同方向上的中心像素与边界像素的欧式距离是变化的。为了克服这个问题，Harris&Stephen提出只需将方向窗改成圆窗（circle window）。同时，窗中的每个像素是同等地位的，理论上应该是离中心越近的权重越大，而离中心越远，权重越小，因此我们加入高斯权重。因此，灰度变化的新测度方式可以通过下图来表示：
通过公式表示如下：
其中，wi表示位置i处的高斯权重。
3）边缘的强响应（Large Response of Edge）
因为Moravec算子在边缘处很容易出现误检，Harris&Stephen通过考虑不同方向的灰度度量形成新的角度性测度（cornerness measure）。接着，我们对上面的式子进行变换，如下式：
Harris&Stephen同时也注意到，上式可以写成：
对上面的矩阵M，其特征值与图像表面的主曲率是成正比的，并且形成了对M的旋转不变的描述（Proportional to the principle curvature of the image surface and form a rotationally invariant description of M）。然后，由于M是通过水平和垂直方向的梯度来近似的，他们不是真正的旋转不变。
同样，与Moravec算子一样，我们再来看下面的四张张图：
图中A表示在一个物体的内部或背景上，窗口内的灰度值相对不变，因此该窗口表面上几乎没有曲率，因此M的特征值相对很小；B窗口在一个边缘处，垂直于边缘的地方将有明显很大的曲率，而平行于边缘的地方几乎没什么曲率，因此该形式下M的特征值一个会比较大，另一个较小；C和D对应于角度和离散点，在两个方向都会有很大的曲率，因此，M的特征值都将会很大。假设r1和r2是M的两个特征值，通过上面的分析，可以将一个平面表示为以下三个可区分的区域：
Harris&Stephen提出下面的角点性测度（cornerness measure）
:
k一般取值04~0.6。
最后，我们来总结下Harris算子的计算步骤：
（ 1）对每一个像素计算自相关矩阵M
（2）构造角点性映射图（Construct cornerness map）
（3）阈值化，对得到的C(x,y)进行阈值
（4）非极大值抑制
总结：Harris算子针对Moravec算子的不足进行了改进，提高了特征点的检测率以及Repeatability。但是，Harris算子计算量大，对尺度很敏感，不具有尺度不变形；另外Harris对特征点的定位也不是很精确，而且Harris也是各向异性的，对噪声敏感。