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离散傅里叶变换的学习与思考

谁是傅里叶？

Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)，一个法国的数学家、物理学家

傅里叶认为：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

拉格朗日认为：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号(如垂直的方波中非连续变化的斜率)。

傅里叶认为：可以用正弦曲线来非常逼近地表示它（带棱角的信号），逼近到两种表示方法不存在能量差别。

为什么需要傅里叶变换？

个人认为：它首先是一种描述性的工具，把用多个不同的正弦波来描述（逼近）一个函数曲线变成了可能

1. 为了把信号从时域转变成频域来进行分析(物理意义)

2. 为了用多个正弦波叠加来模拟函数曲线 (几何意义、数学意义)

3. 这是一种化繁为简的方式，将看似没有规律的复杂事物用有规律的东西进行表达

什么是时域？

y=F(t)，x坐标是t，y坐标是结果值。按采样时间来分类来描述一件事

什么是频域？

y=F(f)，x坐标是f，y坐标是结果值。按分解频率来分类来描述一件事

傅里叶变换是什么东西？

概念理解：

映射：多个入参 → 一个输出，一个入参 → 一个输出，但是不能是一个入参 → 多个输出

变换：一种数据的转换形式，把一堆数据变成另外一堆数据，可以是一个入参 → 多个输出

什么是离散傅里叶变换？

DFT(Discrete Fourier Transform)

为了计算机能够计算，特点：离散性、周期性、有限长度

什么是逆傅里叶变换？

IFT(Inverse Fourier Transform)

傅里叶变换的反操作，即给定一组傅里叶变换的数据，可以重建得到原始数据。

什么是快速傅里叶变换？

FFT(Fast Fourier Transform)

一种更快地计算傅里叶变换的方法，得到的结果和傅里叶变换完全相同，其本身并不是一种新的或不同的变换[Cooley,1965]。当然也分为正向和逆向变换。

如果用传统的算法进行离散傅里叶变换，速度相对较慢，时间复杂度为O(n*n)，若采用FFT，时间复杂度为O(n*logn)。

FFT使得离散傅立叶变换的计算量减少了几个数量级，使计算机实现实时处理成为可能。

快速傅里叶变换的改进点？

1. 编程技巧(例如在循环外部提前计算一些值)

2. 数学技巧

(可以参考wiki：http://zh.wikipedia.org/zh-cn/快速傅里叶变换

或文献：Bracewell, 1965; Brigham, 1974)

一维的傅里叶变换：

入参：一维数组，长度为N，[0]离散的函数曲线描点的y值

出参：二维数组，长度为N，[0]实部，[1]虚部

做傅里叶变换时，实部虚部幅值为什么和采样频率有关呢？

z = a + bi

z[n] = a[n]+b[n]i

复数和正弦函数的关系：

z = a + bi = r(cosθ + isinθ)
r = sqrt(a*a + b*b)
cosθ = a/r
sinθ = b/r

θ = atan2(b,a)

定义：
n: 第n个采样点索引(从1开始)
N: 为采样点总个数
Fs: 采样频率(hz)

香农采样定理：
为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
Fs≥2*Fmax，采样率的提高要求转换电路必须具有更快的转换速度。

根据香农采样定理，所以Fs = 2 * F (hz)，或 Fs = 2 * F + 1 (hz)

傅里叶变换后得到的复数的物理意义？

由得到的复数可以推到出正弦函数的振幅、频率、相位等参数，这样就可以达到用正弦函数来近似描述曲线的目的。

振幅：A[n] = sqrt(a*a + b*b) / (n/2)
频率：F[n] = (n-1)*Fs/N
相位：P[n] = atan2(b, a) (单位弧度)

参考资料：

理解离散傅立叶变换（一. 傅立叶变换的由来）

http://blog.csdn.net/dznlong/article/details/2261150

FFT结果的物理意义

http://bbs.ednchina.com/BLOG_ARTICLE_182751.HTM

下面是我使用OpenCV做的一个离散傅里叶变换的测试：

void test_dft1()
{
	int i,j;
	CvScalar s, s1;
	double p;
	CvMat* a;

	a = cvCreateMat(1024, 1, CV_32FC2); // 32bit F浮点数 2表示复数
	const double PI = 3.1415926535897932385;

	for(int i=0; i<1024; i++)
	{
		s.val[0] = 2.0 * sin(2.0* PI * i / 128.0) + 5.0;
		s.val[1] = 0.0;
		cvSet1D(a, i, s);
	}

	cvDFT(a, a, CV_DXT_FORWARD, 0);

	for(int i=0; i<1024; i++)
	{
		s = cvGet1D(a, i);
		printf("[%d] a=%10f, b=%10f\n",i, s.val[0], s.val[1]);
	}

	double ret = atan2(-1024, 0.0);
	
	double angle = ret / PI * 180;

	//等待按键事件
	cvWaitKey();
}

使用FFT获得的数据：

[0] a=5120.000000, b=  0.000000
[1] a=  0.000000, b=  0.000000
[2] a=  0.000000, b=  0.000000
[3] a=  0.000000, b=  0.000000
[4] a=  0.000000, b=  0.000000
[5] a=  0.000000, b=  0.000000
[6] a=  0.000000, b=  0.000000
[7] a=  0.000000, b=  0.000000
[8] a=  0.000000, b=-1024.000000
[9] a=  0.000000, b=  0.000000
[10] a=  0.000000, b=  0.000000
[11] a=  0.000000, b=  0.000000
[12] a=  0.000000, b=  0.000000
[13] a=  0.000000, b=  0.000000
[14] a=  0.000000, b=  0.000000
[15] a=  0.000000, b=  0.000000
[16] a=  0.000000, b=  0.000000
[17] a=  0.000000, b=  0.000000
[18] a=  0.000000, b=  0.000000
[19] a=  0.000000, b=  0.000000
[20] a=  0.000000, b=  0.000000
[21] a=  0.000000, b=  0.000000
[22] a=  0.000000, b=  0.000000
[23] a=  0.000000, b=  0.000000
[24] a=  0.000006, b=  0.000020
[25] a=  0.000000, b=  0.000000
[26] a=  0.000000, b=  0.000000
[27] a=  0.000000, b=  0.000000
[28] a=  0.000000, b=  0.000000
[29] a=  0.000000, b=  0.000000
[30] a=  0.000000, b=  0.000000
[31] a=  0.000000, b=  0.000000
[32] a=  0.000000, b=  0.000000
[33] a=  0.000000, b=  0.000000
[34] a=  0.000000, b=  0.000000
[35] a=  0.000000, b=  0.000000
[36] a=  0.000000, b=  0.000000
[37] a=  0.000000, b=  0.000000
[38] a=  0.000000, b=  0.000000
[39] a=  0.000000, b=  0.000000
[40] a= -0.000003, b=  0.000009
[41] a=  0.000000, b=  0.000000
[42] a=  0.000000, b=  0.000000
[43] a=  0.000000, b=  0.000000
[44] a=  0.000000, b=  0.000000
[45] a=  0.000000, b=  0.000000
[46] a=  0.000000, b=  0.000000
[47] a=  0.000000, b=  0.000000
[48] a=  0.000000, b=  0.000000
[49] a=  0.000000, b=  0.000000
[50] a=  0.000000, b=  0.000000
[51] a=  0.000000, b=  0.000000
[52] a=  0.000000, b=  0.000000
[53] a=  0.000000, b=  0.000000
[54] a=  0.000000, b=  0.000000
[55] a=  0.000000, b=  0.000000
[56] a= -0.000003, b= -0.000007
[57] a=  0.000000, b=  0.000000
[58] a=  0.000000, b=  0.000000
[59] a=  0.000000, b=  0.000000
[60] a=  0.000000, b=  0.000000
[61] a=  0.000000, b=  0.000000
[62] a=  0.000000, b=  0.000000
[63] a=  0.000000, b=  0.000000
[64] a=  0.000000, b=  0.000000
[65] a=  0.000000, b=  0.000000
[66] a=  0.000000, b=  0.000000
[67] a=  0.000000, b=  0.000000
[68] a=  0.000000, b=  0.000000
[69] a=  0.000000, b=  0.000000
[70] a=  0.000000, b=  0.000000
[71] a=  0.000000, b=  0.000000
[72] a= -0.000002, b= -0.000016
[73] a=  0.000000, b=  0.000000
[74] a=  0.000000, b=  0.000000
[75] a=  0.000000, b=  0.000000
[76] a=  0.000000, b=  0.000000
[77] a=  0.000000, b=  0.000000
[78] a=  0.000000, b=  0.000000
[79] a=  0.000000, b=  0.000000
[80] a=  0.000000, b=  0.000000
[81] a=  0.000000, b=  0.000000
[82] a=  0.000000, b=  0.000000
[83] a=  0.000000, b=  0.000000
[84] a=  0.000000, b=  0.000000
[85] a=  0.000000, b=  0.000000
[86] a=  0.000000, b=  0.000000
[87] a=  0.000000, b=  0.000000
[88] a=  0.000001, b=  0.000004
[89] a=  0.000000, b=  0.000000
[90] a=  0.000000, b=  0.000000
[91] a=  0.000000, b=  0.000000
[92] a=  0.000000, b=  0.000000
[93] a=  0.000000, b=  0.000000
[94] a=  0.000000, b=  0.000000
[95] a=  0.000000, b=  0.000000
[96] a=  0.000000, b=  0.000000
[97] a=  0.000000, b=  0.000000
[98] a=  0.000000, b=  0.000000
[99] a=  0.000000, b=  0.000000
[100] a=  0.000000, b=  0.000000
[101] a=  0.000000, b=  0.000000
[102] a=  0.000000, b=  0.000000
[103] a=  0.000000, b=  0.000000
[104] a= -0.000003, b= -0.000007
[105] a=  0.000000, b=  0.000000
[106] a=  0.000000, b=  0.000000
[107] a=  0.000000, b=  0.000000
[108] a=  0.000000, b=  0.000000
[109] a=  0.000000, b=  0.000000
[110] a=  0.000000, b=  0.000000
[111] a=  0.000000, b=  0.000000
[112] a=  0.000000, b=  0.000000
[113] a=  0.000000, b=  0.000000
[114] a=  0.000000, b=  0.000000
[115] a=  0.000000, b=  0.000000
[116] a=  0.000000, b=  0.000000
[117] a=  0.000000, b=  0.000000
[118] a=  0.000000, b=  0.000000
[119] a=  0.000000, b=  0.000000
[120] a=  0.000004, b= -0.000014
[121] a=  0.000000, b=  0.000000
[122] a=  0.000000, b=  0.000000
[123] a=  0.000000, b=  0.000000
[124] a=  0.000000, b=  0.000000
[125] a=  0.000000, b=  0.000000
[126] a=  0.000000, b=  0.000000
[127] a=  0.000000, b=  0.000000
[128] a=  0.000000, b=  0.000000
[129] a=  0.000000, b=  0.000000
[130] a=  0.000000, b=  0.000000
[131] a=  0.000000, b=  0.000000
[132] a=  0.000000, b=  0.000000
[133] a=  0.000000, b=  0.000000
[134] a=  0.000000, b=  0.000000
[135] a=  0.000000, b=  0.000000
[136] a= -0.000002, b= -0.000003
[137] a=  0.000000, b=  0.000000
[138] a=  0.000000, b=  0.000000
[139] a=  0.000000, b=  0.000000
[140] a=  0.000000, b=  0.000000
[141] a=  0.000000, b=  0.000000
[142] a=  0.000000, b=  0.000000
[143] a=  0.000000, b=  0.000000
[144] a=  0.000000, b=  0.000000
[145] a=  0.000000, b=  0.000000
[146] a=  0.000000, b=  0.000000
[147] a=  0.000000, b=  0.000000
[148] a=  0.000000, b=  0.000000
[149] a=  0.000000, b=  0.000000
[150] a=  0.000000, b=  0.000000
[151] a=  0.000000, b=  0.000000
[152] a=  0.000002, b= -0.000008
[153] a=  0.000000, b=  0.000000
[154] a=  0.000000, b=  0.000000
[155] a=  0.000000, b=  0.000000
[156] a=  0.000000, b=  0.000000
[157] a=  0.000000, b=  0.000000
[158] a=  0.000000, b=  0.000000
[159] a=  0.000000, b=  0.000000
[160] a=  0.000000, b=  0.000000
[161] a=  0.000000, b=  0.000000
[162] a=  0.000000, b=  0.000000
[163] a=  0.000000, b=  0.000000
[164] a=  0.000000, b=  0.000000
[165] a=  0.000000, b=  0.000000
[166] a=  0.000000, b=  0.000000
[167] a=  0.000000, b=  0.000000
[168] a=  0.000001, b= -0.000009
[169] a=  0.000000, b=  0.000000
[170] a=  0.000000, b=  0.000000
[171] a=  0.000000, b=  0.000000
[172] a=  0.000000, b=  0.000000
[173] a=  0.000000, b=  0.000000
[174] a=  0.000000, b=  0.000000
[175] a=  0.000000, b=  0.000000
[176] a=  0.000000, b=  0.000000
[177] a=  0.000000, b=  0.000000
[178] a=  0.000000, b=  0.000000
[179] a=  0.000000, b=  0.000000
[180] a=  0.000000, b=  0.000000
[181] a=  0.000000, b=  0.000000
[182] a=  0.000000, b=  0.000000
[183] a=  0.000000, b=  0.000000
[184] a= -0.000001, b= -0.000014
[185] a=  0.000000, b=  0.000000
[186] a=  0.000000, b=  0.000000
[187] a=  0.000000, b=  0.000000
[188] a=  0.000000, b=  0.000000
[189] a=  0.000000, b=  0.000000
[190] a=  0.000000, b=  0.000000
[191] a=  0.000000, b=  0.000000
[192] a=  0.000000, b=  0.000000
[193] a=  0.000000, b=  0.000000
[194] a=  0.000000, b=  0.000000
[195] a=  0.000000, b=  0.000000
[196] a=  0.000000, b=  0.000000
[197] a=  0.000000, b=  0.000000
[198] a=  0.000000, b=  0.000000
[199] a=  0.000000, b=  0.000000
[200] a=  0.000000, b=  0.000000
[201] a=  0.000000, b=  0.000000
[202] a=  0.000000, b=  0.000000
[203] a=  0.000000, b=  0.000000
[204] a=  0.000000, b=  0.000000
[205] a=  0.000000, b=  0.000000
[206] a=  0.000000, b=  0.000000
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[208] a=  0.000000, b=  0.000000
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[971] a=  0.000000, b=  0.000000
[972] a=  0.000000, b=  0.000000
[973] a=  0.000000, b=  0.000000
[974] a=  0.000000, b=  0.000000
[975] a=  0.000000, b=  0.000000
[976] a=  0.000000, b=  0.000000
[977] a=  0.000000, b=  0.000000
[978] a=  0.000000, b=  0.000000
[979] a=  0.000000, b=  0.000000
[980] a=  0.000000, b=  0.000000
[981] a=  0.000000, b=  0.000000
[982] a=  0.000000, b=  0.000000
[983] a=  0.000000, b=  0.000000
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[987] a=  0.000000, b=  0.000000
[988] a=  0.000000, b=  0.000000
[989] a=  0.000000, b=  0.000000
[990] a=  0.000000, b=  0.000000
[991] a=  0.000000, b=  0.000000
[992] a=  0.000000, b=  0.000000
[993] a=  0.000000, b=  0.000000
[994] a=  0.000000, b=  0.000000
[995] a=  0.000000, b=  0.000000
[996] a=  0.000000, b=  0.000000
[997] a=  0.000000, b=  0.000000
[998] a=  0.000000, b=  0.000000
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[1002] a=  0.000000, b=  0.000000
[1003] a=  0.000000, b=  0.000000
[1004] a=  0.000000, b=  0.000000
[1005] a=  0.000000, b=  0.000000
[1006] a=  0.000000, b=  0.000000
[1007] a=  0.000000, b=  0.000000
[1008] a=  0.000000, b=  0.000000
[1009] a=  0.000000, b=  0.000000
[1010] a=  0.000000, b=  0.000000
[1011] a=  0.000000, b=  0.000000
[1012] a=  0.000000, b=  0.000000
[1013] a=  0.000000, b=  0.000000
[1014] a=  0.000000, b=  0.000000
[1015] a=  0.000000, b=  0.000000
[1016] a=  0.000000, b=1024.000000
[1017] a=  0.000000, b=  0.000000
[1018] a=  0.000000, b=  0.000000
[1019] a=  0.000000, b=  0.000000
[1020] a=  0.000000, b=  0.000000
[1021] a=  0.000000, b=  0.000000
[1022] a=  0.000000, b=  0.000000
[1023] a=  0.000000, b=  0.000000

结果分析：
[0] a=5120.000000, b=  0.000000
[8] a=  0.000000, b=-1024.000000

s.val[0] = 2.0 * sin(2.0* PI * i / 128.0) + 5.0;

A = 2.0;
F = 1.0 / 128
P = 0;(余弦) -> P2 = -90°(正弦)
---------------------------------------
取结果的一半：从0~N/2 (对称性)
直流分量：
a[0] / N = 5120/1024 = 5.0

Fs = 1 (1hz)
Fs[n] = (n+1)*1;


A[8] = sqrt(0*0 + 1024*1024) / (N/2) = 1024 / (1024/2) = 2
F[8] = (9-1)*1/1024 = 8 / 1024 = 1/128
P[8] = atan2(1024,0) = -90°
所以，原式为：

y = 5.0 + 2.0 * sin(2.0* PI * x / 128.0)

课外阅读拓展：

斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用

http://v.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html

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关于Android短信加密功能，我初步了解的如下（只在Android应用层试验）： 1、因为Android有短信收发接口，可以调用接口完成短信收发；发送过程：APP（基于短信应用修改）接受用户输入号码、内容——>APP对短信内容加密——>调用短信发送方法Sm
asp.net在网站根目录下创建文件夹 hvt .net C#hovertree asp.net Web Forms
假设要在asp.net网站的根目录下建立文件夹hovertree,C#代码如下： string m_keleyiFolderName = Server.MapPath("/hovertree"); if (Directory.Exists(m_keleyiFolderName)) { //文件夹已经存在 return; } else { try { D
一个合格的程序员应该读过哪些书 justjavac 程序员书籍
编者按：2008年8月4日，StackOverflow 网友 Bert F 发帖提问：哪本最具影响力的书，是每个程序员都应该读的？ “如果能时光倒流，回到过去，作为一个开发人员，你可以告诉自己在职业生涯初期应该读一本，你会选择哪本书呢？我希望这个书单列表内容丰富，可以涵盖很多东西。” 很多程序员响应，他们在推荐时也写下自己的评语。以前就有国内网友介绍这个程序员书单，不过都是推荐数
单实例实践跑龙套_az 单例
1、内部类 public class Singleton { private static class SingletonHolder { public static Singleton singleton = new Singleton(); } public Singleton getRes
PO VO BEAN 理解 q137681467 VO DTO po
PO：全称是 persistant object持久对象最形象的理解就是一个PO就是数据库中的一条记录。好处是可以把一条记录作为一个对象处理，可以方便的转为其它对象。 BO：全称是 business object:业务对象主要作用是把业务逻辑封装为一个对象。这个对
战胜惰性，暗自努力金笛子努力
偶然看到一句很贴近生活的话：“别人都在你看不到的地方暗自努力，在你看得到的地方，他们也和你一样显得吊儿郎当，和你一样会抱怨，而只有你自己相信这些都是真的，最后也只有你一人继续不思进取。”很多句子总在不经意中就会戳中一部分人的软肋，我想我们每个人的周围总是有那么些表现得“吊儿郎当”的存在，是否你就真的相信他们如此不思进取，而开始放松了对自己的要求随波逐流呢？我有个朋友是搞技术的，平时嘻嘻哈哈，以
NDK/JNI二维数组多维数组传递 wenzongliang 二维数组 jni NDK
多维数组和对象数组一样处理，例如二维数组里的每个元素还是一个数组用jArray表示，直到数组变为一维的，且里面元素为基本类型，去获得一维数组指针。给大家提供个例子。已经测试通过。 Java_cn_wzl_FiveChessView_checkWin( JNIEnv* env,jobject thiz,jobjectArray qizidata) { jint i,j; int s