第二十二章：图的基本算法
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一、图的概念
| 是否有环 | 是否有重边 | 是否有有向边 | |
| Simple Undirected Graph（简单无向图） | × | × | × |
| Multigraph（多重图） | × | √ | × |
| Pseudograph（伪图） | √ | √ | × |
| Simple Directed Graph（简单有向图） | × | × | √ |
| Directed Multigraph（有向多重图） | √ | √ | √ |
| Mixed Graph（混合图） | √ | √ | 有向边和无向边共存 |
Infinite Graph：有无限个点的图。
Finite Graph：有有限个点的图。
MultiEdge：重边。
Isolated Vertex：度数为0的点。
Pendant Vertex：度数为1的点。
Pendant Edge：连接两个悬挂点的边。
完全图（Kn）：任意两个点之间都有一条边。
Complement of Graph（补图）：和G有着相同的点，但是如果补图中有某个边，则图中就没有。
注意点：
1、小的图通常用邻接矩阵。
2、一般的图算法都是用邻接表。
3、邻接表的存储空间为O(V+E)。
4、邻接矩阵存储空间为O(V^2)。
5、对于无向图，如果用邻接矩阵存储，则可以只存储主对角线和主对角线以上的部分，可以节约一般空间。
6、有向边用(u,v)表示，无向边用{u,v}表示。
7、如果是加权图，则邻接表表示可以在邻接表的每个节点中加一个weight，而邻接矩阵可以在单元格的位置用权值替代。
8、无向图中一个环有两个度。
9、无向图中sum(deg(v))=2e，因此度数之和一定是偶数，如果给定度数序列之和为奇数，则肯定不是无向图。
10、有向图中sum(deg-(v))=sum(deg+(v))=|E|。
对于邻接表表示有一点要注意：如果A与B、C、D相连，则A的邻接表的顺序是不定的，可能是D、C、B，也可能是C、D、B。
以下是树的概念，但是后面DFS、BFS生成深度优先树和广度优先树时会用到：
v的祖先：包括v和v的真祖先。
v的
真祖先：如果存在u（不含v），使得u到v存在一条路径，则u为v的真祖先。
v的
后裔：包括v和v的真后裔。
v的
真后裔：如果存在u（不含v），使得v到u有一条路径，则u为v的真后裔。
强连通图：任意两个顶点u,v，u到v和v到u都有路径。
弱连通图：此图为有向图，他不是强连通图，但是如果把有向边变成无向边后，图为连通的，则此图为弱连通图。
二分图（Bipartite Graph）：如果一个图的点集能被分成两个不相交的子集V1、V2，使得每条边都是V1中的点与V2中的点连接。
完全二分图：点集分为两个子集后，每个子集中任意抽一个点，他们之间都有边。
着色定理：如果图是二分图当且仅当给图中每个点赋予红蓝两色之一，使得没有一条边的两个顶点是同一个颜色。
着色定理可以通过BFS来实现，即距离为奇数的顶点着色为蓝色，偶数的顶点着色为红色，着色完毕需要O(V+E)，然后在遍历每条边，检查是否着色正确，O（V+E）。
定理：图是二分图当且仅当不可能从某个顶点开始走，经过奇数条边又回到起点。
割点：如果去掉某个点，连通分支数增加，则此点为割点。
割边（桥）：如果去掉某个边，连通分支数增加，则此边为割边。
欧拉回路：在图中能找到遍历每条边一次的简单回路（注意是简单回路）；
欧拉路径：在图中能找到遍历每条边一次的简单路径；
在无向图中，图中有欧拉回路当且仅当图中每个顶点的度数为偶数；
在有向图中，图中有欧拉回路当且仅当图中每个顶点出度和入度相同；
在无向图中，图中有欧拉路径当且精当图中只有两个顶点度数为奇数；
在有向图中，图中有欧拉路径当且仅当图中只有两个点，出度入度相差奇数；
汉密尔顿回路：在图中能找到能遍历每个点一次的简单回路；
汉密尔顿路径：在图中能找到能遍历每个点一次的简单路径；
连通分支：连通的点的集合，比如{A,B,C}为图的一个连通分支；
在无向图中判断是否存在回路：|E|>|V|-1且连通图，则一定有回路。
在有向图中判断是否存在回路：DFS有反向边。
二、BFS
用途：
(1)遍历图。
(2)在图的每条边的权值都为1的前提下，计算最短路径。
注意点：
(1)任意一条边(u,v)，d[v]<=d[u]+1；
(2)在队列中，设队头为u，队尾为v，d[v]<=d[u]+1；
最最重要的一点：BFS能够生成最短路径树，但是并不是所有的最短路径树都能够通过BFS生成。例如：
三、DFS
树边：深度优先树中出现的边。
正向边：u到非直接后裔的边。
反向边：u到祖先（包括自己）的边。
交叉边：u和v不是祖先后裔关系。
在无向图中，只有树边和反向边。
四、拓扑排序
如果存在(u,v)，则f[u]>f[v].
拓扑排序有两种实现：
(1)按f[]降序DFS。
(2)每次删除一个入度为0的点。