手算Dynamic Programming

手算Dynamic Programming(1)

用动态规划方法手工求解下面的问题：

某工厂调查了解市场情况，估计在今后四个月内，市场对其产品的需求量如下表所示。

时期（月）	需要量（产品单位）
1	2
2	3
3	2
4	4

已知：对每个月来讲，生产一批产品的固定成本费为3 (千元)，若不生产，则为零。每生产单位产品的成本费为1 （千元)。同时，在任何一个月内，生产能力所允许的最大生产批量为不超过6 个单位。

又知每单位产品的库存费用为每月0.5 （千元），同时要求在第一个月开始之初，及在第四个月末，均无产品库存。

问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？

要求：写出各种变量、状态转移方程、递推关系式、和详细计算步骤。

【解答】

l  变量定义

Ø  阶段：k = 1，2，3，4 ；

Ø  每个阶段开始时库存量：s_k ；

Ø  每个阶段产量：u_k ；

Ø  每个阶段需求量：d_k 。

l  状态转移方程

l  递推关系式

l  详细计算步骤

k = 4

根据状态转移方程和边界条件：

因为s₅ = 0 = s₄ + u₄ – d₄ = s₄ + u₄ – 4

所以 s₄ = 4 – u₄ , s₄ ≥ 0

根据 ,

得出决策表格：

 

 

 

 

 

 

 

 

s4	u4	f4(s4)
4	0	2
3	1	5.5
2	2	6
1	3	6.5
0	4	7

第四月初的库存状态：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1月11日 1:47 | 添加评论 | 阅读评论 (2) | 固定链接 | 写入日志 | 算法

手算Dynamic Programming(2)

k = 3

根据状态转移方程：s₄ = s₃ + u₃ – 2

递推关系式：

u3 s3	0	1	2	3	4	5	6	f3(s3)
0			s4 = 0 12	s4 = 1 12.5	s4 = 2 13	s4 = 3 13.5	s4 = 4 11	11
1		s4 = 0 11.5	s4 = 1 12	s4 = 2 12.5	s4 = 3 13	s4 = 4 10.5		10.5
2	s4 = 0 8	s4 = 1 11.5	s4 = 2 12	s4 = 3 12.5	s4 = 4 10			8
3	s4 = 1 8	s4 = 2 11.5	s4 = 3 12	s4 = 4 9.5				8
4	s4 = 2 8	s4 = 3 11.5	s4 = 4 9					8
5	s4 = 3 8	s4 = 4 8.5						8
6	s4 = 4 5							5

1月11日 1:46 | 添加评论 | 固定链接 | 写入日志 | 算法

手算Dynamic Programming(3)

 

根据状态转移方程：s₃ = s₂ + u₂ – 3

递推关系式：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 s2	0	1	2	3	4	5	6	f2(s2)
0				s3 = 0 17	s3 = 1 17.5	s3 = 2 16	s3 = 3 17	16
1			s3 = 0 16.5	s3 = 1 17	s3 = 2 15.5	s3 = 3 16.5	s3 = 4 17.5	15.5
2		s3 = 0 16	s3 = 1 16.5	s3 = 2 15	s3 = 3 16	s3 = 4 17	s3 = 5 18	15
3	s3 = 0 12.5	s3 = 1 16	s3 = 2 14.5	s3 = 3 15.5	s3 = 4 16.5	s3 = 5 17.5	s3 =6 15.5	12.5
4	s3 = 1 12.5	s3 = 2 14	s3 = 3 15	s3 = 4 16	s3 = 5 17	s3 = 6 15		12.5
5	s3 = 2 10.5	s3 = 3 14.5	s3 = 4 15.5	s3 =5 16.5	s3 = 6 14.5			10.5
6	s3 = 3 11	s3 = 4 15	s3 = 5 16	s3 = 6 14				11

手算Dynamic Programming(4)

k = 1

根据状态转移方程：s₂ = s₁ + u₁ – 2

递推关系式：

u1 s1	0	1	2	3	4	5	6	f2(s2)
0			s2 = 0 21	s2 = 1 21.5	s2 = 2 22	s2 = 3 20.5	s2 = 4 21.5	20.5

回溯！！

生产过程安排如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

月份k	sk	uk	月总成本	成本累计
1	0	5	8	8
2	3	0	1.5	9.5
3	0	6	9	18.5
4	4	0	2	20.5

k = 2