最优比例生成树问题

1.问题定义

   我们设一个顶点数为n，边数为m的无环连通图G，其中ci表示是花费的代价，bi表示表示获取的利润，计算

，T为G的一个生成树。这个问题就是解决最优比例生成树的问题。在实际问题当中，我们会经常遇到如修建道路要考虑收益和开销，使得代价比最小的问题。

2.理论基础

    原问题本质是一个分数规划问题，设矩阵X在集合{0,1}中取值，当边i在生成树中时xi=1，于是我们可以转化为求下式的最小值

在解决该问题前我们按照分数规划的思想提出一个子问题，设

 我们定义z(l)可以表示为(c-l*bi)为边i的权值的图所生成的最小生成树的权值和。我们可以证明z(l)为单调递减函数，同时当z(l)=0时，l值的值最小，即我们可求的r(x)的最小值。

3.二分求解

（1）给出比率的上下限，high和low；

（2）求出mid = (high+low)/2；

（3）通过求最小生成树的算法求出z(mid)，如果z(mid)=0，则mid为最后的结果；如果z(mid)<0，则（mid,high）区间不存在答案，调整high=mid,转向(2)；如果z(mid)>0，则（low,mid）区间不存在答案，调整low=mid,转向(2)；

其中上界的确定我们可以设一个无法达到的最大值使high为下式：

 

4.实例

               

                
               
                

最后答案为