《什么是数学》小记@第一章自然数

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这是一本怎样的书?

这不仅仅是一本抛出各种数学公式、定理、证明方法的数学教材。从这本书的副标题(对思想和方法的基本研究)可以看出,它更多是围绕数学中各个知识点(数论、几何、拓扑学、微积分等)的思考。比如,对于“数学归纳法”的阐述,给出了其定义(满足2个条件)、区别(与经验主义)、证明过程举例(正反都有)、局限性(只可验证不可发现规律)。而我们在初中或者高中接触数学归纳法时,可能面对的问题仅仅是:对于抛出的一个问题,给出数学归纳法的证明过程。

这是我目前读完第一章后的初步感受。(本书信息,参考这里)

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目前只读了第一章,整理了些重要知识点和作者观点,罗列如下。

(1)整数的表示

早期的数学系统是建立在的加法规则上的。例如罗马人的符号表示中,CXVIII=壹百+++++壹。这带来一个不便之处,就是当数变大时需要越来越多的新符号。因此古代的计算技巧一度只掌握在少数专家手中。

位置记法改变了这一现象,位置记法的方便之处在于:所有的数,不论多大或多小,都能用一小组不同的数码符号来表示(在十进制中就是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)而且容易计算。这使得目前小学课本中都出现了数字计算,对人们的日常生活产生了深刻影响。

 

(2)非十进位制中的计算

从以十为基底变成任何其他基底B的一般规则是,用B连续除以十为基底的整数z,所得的余数将是在以B为基底的系统中的数码。

莱布尼茨(W.Leibniz)(1646~1716)是他那个时代最伟大的思想家之一,他十分欣赏二进位制。用拉普拉斯(Laplace)的话来说:“莱布尼茨在他的二进位算术中看到了宇宙创始的原象。他想象1表示上帝,而0表示虚无,上帝从虚无中创造出所有实物,恰如在他的数学系统中用10表示了所有的数。”

 

(3)数学归纳法

3.1)数学归纳法与经验归纳法的区别

后者是从某现象的一系列特殊观测出发总结出的一般规律,其可信程度依赖于观测的次数和证实的次数(后续可能出现例外的情况)。而前者是以一种很不同的方式来证明“无穷序列”情形都是依从某种规律的(不会出现例外)。

在数学命题中有许多这样的例子:这些命题到现在为止,在所考虑的每一个特殊情形下都被证实了,但至今仍未证明它普遍地成立(比如,哥德巴赫猜想)。则它仍然只是能称为“一个相当合理的假说”。只有当它能表示为某些已被认为是正确的假设的逻辑的必然结果时,才算是被证明了。(数学的严谨性)

3.2)定义形式

数学归纳法须满足两个假设,则命题成立。

a)通过某些数学认证证明了:若r是任意正整数,且若命题Ar为真,则可推出Ar+1也为真(注意这一顺序不可颠倒,即不能由Ar+1推导出Ar,书中给出了反倒)

b)第一个命题A1是真的。

则:序列(A1,A2,A3,…,)的所有命题必然都是真的。

3.3)局限性

数学归纳法证明一个公式是足够的,但这种证明方式却没有表明这个公式最初是怎样产生的。比如立方和公式(1^3+2^3+…+n^3 = [n(n+1)/2]^2),对于公式的来源问题,属于一个没有一般规律可循的领域。其中起作用的是经验、类比和直观。(本人一直存在这方面的疑惑,由此 也对那些大牛们更加仰慕)

由于数学归纳法的证明过程并没有给出发现过程的线索,把它称为验证似乎更合适。

3.4)举例

尝试利用数学归纳法证明一个重要的不等式 (1+p)^n >= 1+np (p>-1, n>0, n为整数)

3.5)拓展

书中也给出了巴斯嘉(Pascal)三角形(杨辉三角)的推导过程及利用数学归纳法来验证的过程。也算是一种【发现->猜想->证明】的完整思路。

 

在第一章中,作者对于【数学归纳法】的多角度阐述无疑是最大的亮点,也让我对这本热书和那些久未触及的数学知识重新焕发了兴趣。下一次将介绍数论。

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