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下面先简要介绍常用的画圆算法(Bresenham算法),然后再具体阐述笔者对该算法的改进。
一个圆,如果画出了圆上的某一点,那么可以利用对称性计算余下的七段圆弧:Plot(x,y),Plot(y,x),Plot(y,-x),Plot(x,-y),Plot(-x,-y),Plot(-y,-x),Plot(-y,x),Plot(-x,y)。
1、Bresenham 画圆算法。Bresenham算法的主要思想是:以坐标原点(0,0)为圆心的圆可以通过0度到45°的弧计算得到,即x从0增加到半径,然后利用对称性计算余下的七段圆弧。当x从0增加到时,y从R递减到。
设圆的半径为R,则圆的方程为:
f(x,y)=(x+1)2+y2-R2=0 (1)
假设当前列(x=xi列)中最接近圆弧的像素已经取为P(xi,yi),根据第二卦限1/8圆的走向,下一列(x=xi+1列)中最接近圆弧的像素只能在P的正右方点H(xi+1,yi)或右下方点L(xi+1,yi-1)中选择,如图1所示。Bresenham画圆算法采用点T(x,y)到圆心的距离平方与半径平方之差D(T)作为选择标准,即
D(T)=(x+1)2+y2-R2 (2)
通过比较H、L两点各自对实圆弧上点的距离大小,即根据误差大小来选取,具有最小误差的点为绘制点。根据公式(2)得:
对H(xi+1,yi)点有:D(H)=(xi+1)2+yi2-R2;
对L(xi+1,yi-1)点有:D(L)=(xi+1)2+(yi-1)2-R2;
根据Bresenham画圆算法,则选择的标准是:
如果|D(H)|<|D(L)|,那么下一点选取H(xi+1,yi);
如果|D(H)|>|D(L)|,那么下一点选取L(xi+1,yi-1);
如果|D(H)|=|D(L)|,那么下一点可以取L(xi+1,yi-1),也可以选取H(xi+1,yi),我们约定选取H(xi+1,yi)。
图1 Bresenham画圆算法点的选取
综合上述情况,得:
当|D(H)|>|D(L)|时,选取L点(xi+1,yi-1)为绘制点坐标;
当|D(H)|<|D(L)|时,选取H点(xi+1,yi)为绘制点坐标。
然后将选取的点坐标作为当前坐标,重复上述过程直至xi=或者yi=为止,(xi,yi)的初始值为(0,R)。
以上便是Bresenham算法的主要思想,但是上述算法是在一个假设下:以坐标原点(0,0)为圆心。该假设实际上只是为了方便算法的研究。但在实际嵌入式LCD显示设备中,往往圆心坐标不是(0,0)点,而是以左上角为(0,0)点,这样就使得在实际运用中,需要对这个算法做很大的改进。
另外,如果完全按照Bresenham画圆算法,那么就会涉及到浮点运算,这使得嵌入式编程十分烦琐,因为本系统中所有数据都是整型的,因此在这方面也要作一定的改进。下面根据本系统中嵌入式硬件特点和数据结构得特点,对这个算法进行改进。
2、改进的Bresenham画圆算法。先假设起始点为(R,0),令Pi=(xi,yi)为当前的一点,那么我们就需要在Ti=(xi,yi+1)和Si=(xi-1,yi+1)中选取一点,如图2所示。
图2 嵌入式LCD画圆时点的选取
设(xi-1/2+e,yi+1)为S和T之间圆上的点,e是S、T中点到圆上点的误差,带入圆的方程(1)得:
f(xi-1/2+e,yi+1)=(xi-1/2+e)2+(yi+1)2-R2=f(xi-1/2,yi+1)+2(xi-1/2)e+e2=0 (3)
在式(3)中,令
di="f"(xi-1/2,yi+1)=-2(xi-1/2)e-e2 (4)
如果e<0,那么di>0,因此选择S=(xi-1,yi+1),根据(3)与(4)得:
di+1=f(xi-1-1/2,yi+1+1)=di-2(xi-1)+2(yi+1)+1=di+2(yi+1-xi+1)+1 (5)
如果e30,那么di£0,因此选择T=(xi,yi+1),根据(3)与(4)得:
di+1=f(xi-1/2,yi+1+1)=di+2yi+1+1 (6)
起始点是(R,0)的时候,根据(4)得di的初始值d0就是:
d0=f(R-1/2,0+1)=(R-1/2)2+1-R2=5/4-R=1-R(由于编程中所用数据类型均为整型,故取1-R)。
综合上述情况,得:
当选取S=(xi-1,yi+1)时,那么di+1=di+2(yi+1-xi+1)+1;
当选取T=(xi,yi+1)时,那么di+1=di+2yi+1+1;
然后将选取的点坐标作为当前坐标,重复上述过程直至x=y,而不是xi=或者yi=,这样就可以不用作浮点数计算了。
本项目中的LCD像素为640×480点阵,并且数据是八位的,当横坐标和纵坐标超过255时,那么数据就不能一次传送成功,因此需要通过字节操作来设定高字节,然后再传送低字节。因此,每次画圆上的点时要传送的参数至少是六个,圆心坐标是四个(因为要考虑圆心坐标可能大于255,因此要对其圆心坐标设置高、低字节),另外两个是圆上的点相对于圆心的坐标,但是最后要画一个点,需要四个参数,即改进的画圆算法为六个参数输入,四个参数输出。
用C语言在嵌入式LCD上实现改进的Bresenham画圆算法的部分代码如下:
void MidBresenhamcircle(int R) /*改进的Bresenham算法画圆程序*/
{
int x,y,d;
x="0";y=R;d=1-R; /* 计算初始值 */
while(x<y)
{ circlePoint(x,y); /*绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外7个对称点*/
if(d<0) d+=2*x+3;
/*根据误差项d的判断,决定非最大位移方向上是走还是不走*/
else
{ d+=2*(x-y)+5;
y--;
}
x++;
delay(900000);
} /* while */