线性规划--概述

线性规划

在满足一组线性等式或不等式约束的条件下，使一个线性函数达到极值。即，目标函数与约束均为线性的规划称为线性规划。

常见形式

 

线性规划是凸优化

凸优化：

在凸集上的凸函数规划，称为凸规划。

可证明，线性集合是凸集，其满足

线性函数是凸函数, 即

但非严格凸。

统一形式

为了方便统一求解，得出线性规划的统一形式：

其中，通过引入松弛变量，把不等式变为等式。

 

进而可以写成矩阵的形式：

其中A称为约束矩阵。

可行解

在约束矩阵A的限制下，我们得到一个可行域，可行域里的解称为可行解。

那么求解可行域，也就是一个求解线性方程组的过程。

一般而言，A的秩m<<n，线性方程组Ax=b有无穷个解。我们取其中的m个线性无关向量为其基向量，设其他的非基向量系数 为0，就得到了约束方程A的一个解，称为基解。

 

定理：如线性规划存在可行解，则它必定存在基可行解是最优解。（证略）

 

即，若线性规划有最优解，只需从基可行解中寻找即可。

基变量规范式

不失一般性的，我们假设前k个列向量是基变量，把如上的矩阵形式写成分块矩阵形式：

继续变换，把分块形式推导成如下形式：

 

定理：x是对应于基B的基可行解，全体判别数非负，则x为最优解

 

证：我们看目标函数

分为两个部分，第一部分关于基向量B，为一个确定的数，之后为所有的非基向量。如果第二项系数非负，那么有：

即如果使这项系数为0，可以得到更优的解；取这些非基向量系数全为0，则可行解x为最优解。

 

那么，我们就可以不断地迭代不同的基向量，当满足上述判别系数全为非负，就得到最优解。相应的方法有单纯性法等。