欧几里德算法及其扩展欧几里德算法

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
 假设d是a,b的一个公约数，则有
 d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
 因此d是(b,a mod b)的公约数
 
 假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
 d | b , d |r ，但是a = kb +r 
 因此d也是(a,b)的公约数
 
 因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：

     void swap(int & a, int & b)
     {
         int c = a;
         a = b;
         b = c;
     }
     int gcd(int a,int b)
     {
         if(0 == a )
         {
             return b;
         }
         if( 0 == b)
         {
             return a;
         }
         if(a > b)
         {
             swap(a,b);
         }
         int c;
         for(c = a % b ; c > 0  ; c = a % b)
         {
             a = b;
             b = c;
         }
         return b;
     }

模P乘法逆元

对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1

证明：
 首先证明充分性
 如果gcd(a,p) = 1，根据欧拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此
 显然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。
 
 再证明必要性
 假设存在a模p的乘法逆元为b
 ab ≡ 1 mod p
 则ab = kp +1    ，所以1 = ab - kp
 因为gcd(a,p) = d 
 所以d | 1
 所以d只能为1

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法不但能计算(a,b)的最大公约数，而且能计算a模b及b模a的乘法逆元，用C语言描述如下：

int     gcd(int     a,     int     b     ,     int&     ar,int     &     br)
 {
  int     x1,x2,x3;
  int     y1,y2,y3;
  int     t1,t2,t3;
  if(0     ==     a)
  {//有一个数为0，就不存在乘法逆元
                ar     =     0;
                br     =     0     ;
                return     b;
  }
  if(0     ==     b)
  {
                ar     =     0;
                br     =     0     ;
                return     a;
  }
  x1     =     1;
  x2     =     0;
  x3     =     a;
  y1     =     0;
  y2     =     1;
  y3     =     b;
  int     k;
  for(     t3     =     x3     %     y3     ;     t3     !=     0     ;         t3     =     x3     %     y3)
  {
   k     =     x3     /     y3;
   t2     =     x2     -     k     *     y2;
   t1     =     x1     -     k     *     y1;
   x1     =     y1;
   x1     =     y2;
   x3     =     y3;
   y1     =     t1;
   y2     =     t2;
   y3     =     t3;
  }
  if(     y3     ==     1)
  {
   //有乘法逆元
   ar     =     y2;
   br     =     x1;
   return     1;
  }else{
           //公约数不为1，无乘法逆元
            ar     =     0;
            br     =     0;
            return     y3;
  }
 }

扩展欧几里德算法对于最大公约数的计算和普通欧几里德算法是一致的。计算乘法逆元则显得很难明白。我想了半个小时才想出证明他的方法。

首先重复拙作整除中的一个论断：

如果gcd(a,b)=d，则存在m,n，使得d = ma + nb，称呼这种关系为a、b组合整数d，m，n称为组合系数。当d=1时，有 ma + nb = 1 ，此时可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。

为了证明上面的结论，我们把上述计算中xi、yi看成ti的迭代初始值，考察一组数(t1,t2,t3)，用归纳法证明：当通过扩展欧几里德算法计算后，每一行都满足a×t1 + b×t2 = t3

第一行：1 × a + 0 × b = a成立
 第二行：0 × a + 1 × b = b成立
 假设前k行都成立，考察第k+1行
 对于k-1行和k行有
 t1(k-1)    t2(k-1)  t3(k-1)
 t1(k)      t2(k)    t3(k)
 分别满足：
 t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
 t1(k)   × a + t2(k)   × b = t3(k)
 根据扩展欧几里德算法，假设t3(k-1) = j t3(k) + r
 则：
  t3(k+1) = r
  t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
  t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
 则
         t1(k+1) × a + t2(k+1) × b 
        =t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
         t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
       = t3(k-1) - j t3(k) = r 
       = t3(k+1)
 得证
因此，当最终t3迭代计算到1时，有t1× a + t2 × b = 1，显然，t1是a模b的乘法逆元，t2是b模a的乘法逆元。