卡塔兰数---电影院排队

题目：有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。

问： 有多少种排队方法 使得 每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱
注： 
1美元=100美分
拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分

 

题解：如果不考虑电影院能否找钱，那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数），对于每一种排队方法，如果他会导致电影院无法找钱，则称为不合格的，这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种，所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]- (2n)!/[(n-1)!(n+1)!] =(2n)!/[n!(n+1)!]。

 

 

本题结果就是卡塔兰数的通项公式

卡塔兰数的通项公式为 C[n] = (2n)! /( (n+1)! * n! )

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 

算法：本题可用动态规划的方法求解，时间复杂度O(n)