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龙贝格积分对于编程实现来说,一开始不太好懂.
对于不易直接用积分公式计算的原函数,通常用 复合梯形求积公式或复合抛物线求积公式等方法,但这些方法精度不高,收敛的速度缓慢。为了提高收敛速度,减少计算量,人们寻求其他方法.推导和证明资料:
http://www.docin.com/p-450311746.html
http://media.open.com.cn/media_file/rm/dongshi0703/jisuanffcb/text/chapter4.3.3/chapter4-3-3.htm
http://wenku.baidu.com/view/65c54b2458fb770bf78a5589.html
以下是一些对理解Romberg算法很关键的信息.
T4 =T2/2+[h/2^2][f(a+h/4)+f(a+3h/4).
....................
把[a,b] 2 k等分,分点xi=a+(b-a)/ 2 k ·i (i =0,1,2 · · · 2k)每个小区间长度为(b-a)/ 2 k ,由归纳法可得下图的第一个公式.I = ∫01 ( 4/(1+X2)) dx
解 按上述五步计算,此处 f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2
由梯形公式得
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3
计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得
T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1
由加速公式得
S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333
求出f(1/4) f(3/4) 进而求得
T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}
=3.131176471
S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628
C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648
计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得
T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]}
=3.138988495
S4=1/3(4T8-T4)=3.141592503
C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095
R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784
把区间再二分,重复上述步骤算得
T16=3.140941613 S8=3.141592652
C4=3.141592662 R2=3.141592640
由于 |R1-R2|<=0.00001,计算可停止,取R2=3.14159
题目:poj2369