龙贝格积分

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龙贝格积分对于编程实现来说,一开始不太好懂.

对于不易直接用积分公式计算的原函数，通常用 复合梯形求积公式或复合抛物线求积公式等方法，但这些方法精度不高，收敛的速度缓慢。为了提高收敛速度，减少计算量，人们寻求其他方法.
Romberg方法也称为逐次分半加速法。 它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.
在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程。

推导和证明资料：

http://www.docin.com/p-450311746.html

http://media.open.com.cn/media_file/rm/dongshi0703/jisuanffcb/text/chapter4.3.3/chapter4-3-3.htm

http://wenku.baidu.com/view/65c54b2458fb770bf78a5589.html

以下是一些对理解Romberg算法很关键的信息.

对区间[a， b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2
把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/2]f(a+h/2）
把区间四(2 ²)等分，每个小区间长度为h/2 ² =（b-a）/4，于是

T4 =T2/2+[h/2^2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).

....................

把[a，b] 2 ^k等分，分点xi=a+（b-a）/ 2 ^k ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2 ^k ，由归纳法可得下图的第一个公式.

整个程序就是循着这四个公式进行计算的.
Sn,Cn, Rn 分别代表特例梯形积分,抛物线积分,龙贝格积分.当然,编程的时候统一处理即可.
应用中,算到Rn级别即可(7阶的精度), 精度再高则会与累计误差相冲突.

下面举一个例,代码运行一下：取e=0.0001,用龙贝格方法计算积分

I = ∫₀¹ ( 4/(1+X²)) dx
解 按上述五步计算，此处 f(x)=4/(1+x²) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2
由梯形公式得
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3
计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得
T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1
由加速公式得
S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333

求出f(1/4) f(3/4) 进而求得
T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}
=3.131176471
S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628
C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648

计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得
T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]}
=3.138988495
S4=1/3(4T8-T4)=3.141592503
C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095
R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784

把区间再二分，重复上述步骤算得
T16=3.140941613 S8=3.141592652
C4=3.141592662 R2=3.141592640
由于 |R1-R2|<=0.00001,计算可停止，取R2=3.14159

题目：poj2369