线性代数(十四) : 逆映射与逆矩阵

0 需要复习的内容

逆映射

矩阵与映射

零空间与列空间

1 单位矩阵与恒等映射

一个单位矩阵E乘一个向量a 结果还是a 说明单位矩阵对应于一个恒等映射。

2 可逆矩阵与逆矩阵

如果一个矩阵对应的映射是一个可逆映射(既是单射有事满射)那么这个矩阵是可逆矩阵,

矩阵A的逆矩阵记做：

3 矩阵可逆的一个充要条件

(i)满射矩阵：如果一个mxn的矩阵A对应的映射是满射则说明方程组Ax=b无论b取何值都有解。

这说明矩阵的留空间张成整个m维空间，也就是说矩阵A是行满秩的，此时rank(A)=m

(ii)单射矩阵：如果一个mxn的矩阵A对应的映射是单射则说明Ax=b如果有解那么一定是唯一的解。

这说明A的零空间只有零元素。也就是说A没有自由元。这对应A是列满秩的,此时rank(A)=n

(iii)综上我们得到矩阵可逆的充分必要条件rank(A)=m=n。也就是说矩阵是满秩的方阵。

4 初等变换求逆矩阵

(i)若矩阵A可逆我们可以同时对A和单位矩阵E做相同的初等变换,这样当我们把A变换成单位矩阵的时候这相当于：

这样单位矩阵E经过变换后就得到了矩阵A的逆矩阵。下边是一个具体的例子：

(ii)由上可知如果矩阵A可逆那么rref(A)就是单位矩阵,反之则说明A不可逆。