大意:每一种大理石可能会有许多个,但每个大理石的价值不同,问是否能否平分大理石的总价值。
思路:简单的多重背包,先求出总的价值,然后判断sum/2是否能被刚好塞满即可。
简单论证一下“拆分物品”的正确性。
拆分物品:将第i中物品拆分成若干件物品,其中每件物品有一个系数,这些物品的费用和价值是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数为:1、2、4....,2^(k-1),n[i]-2^k+1,且k是满足n[i]-2^k+1的最大值。例如,如果n[i]为13,那么这些物品的系数分别为1、2、4、6。
为什么可以这么表示呢?因为这样表示的话,以n[i] = 13为例,1~13之内的每一个整数,如3,3 = 1+2,5,5 = 1+4,这些可以用数学归纳法证明的,即在1~n[i]之内的任何一个数都可以被拆分后的这些系数表示,于是,也就可以这样拆分物品。
通过二进制优化过的时间复杂度是O(V*∑log[n])。
多重背包里的if(cost * amount >= C)是为了保证接下来0/1背包能够算出正确的结果。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int MAXN = 1010; const int INF = 0x3f3f3f3f; int num[7]; int f[20002*6]; int sum; const int n = 6; int C; void init() { sum = 0; memset(f, -INF, sizeof(f)); f[0] = 0; } void Zp(int cost, int weight) { for(int v = C; v >= cost; v--) { f[v] = max(f[v], f[v-cost]+weight); } } void Cp(int cost, int weight) { for(int v = cost; v <= C; v++) { f[v] = max(f[v], f[v-cost]+weight); } } void Mp(int cost, int weight, int amount) { if(cost * amount >= C) { Cp(cost, weight); return ; } else { int k = 1; while(k < amount) { Zp(k*cost, k*weight); amount -= k; k *= 2; } Zp(cost*amount, weight*amount); } } int read_case() { init(); for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &num[i]); sum += i*num[i]; } if(!sum) return 0; return 1; } int dp() { for(int i = 1; i <= n; i++) { Mp(i, i, num[i]); } if(f[C] > 0) return 1; return 0; } void solve() { if(sum & 1) { printf("Can't be divided.\n"); return ;} C = sum/2; int ans = dp(); if(ans) printf("Can be divided.\n"); else printf("Can't be divided.\n"); } int main() { int times = 0; while(read_case()) { if(times) printf("\n"); printf("Collection #%d:\n", ++times); solve(); } return 0; }