POJ 1014 Dividing

大意：每一种大理石可能会有许多个，但每个大理石的价值不同，问是否能否平分大理石的总价值。

思路：简单的多重背包，先求出总的价值，然后判断sum/2是否能被刚好塞满即可。

简单论证一下“拆分物品”的正确性。

拆分物品：将第i中物品拆分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这些物品的费用和价值是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数为：1、2、4....，2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1的最大值。例如，如果n[i]为13，那么这些物品的系数分别为1、2、4、6。

为什么可以这么表示呢？因为这样表示的话，以n[i] = 13为例，1~13之内的每一个整数，如3，3 = 1+2，5，5 = 1+4，这些可以用数学归纳法证明的，即在1~n[i]之内的任何一个数都可以被拆分后的这些系数表示，于是，也就可以这样拆分物品。

通过二进制优化过的时间复杂度是O(V*∑log[n])。

多重背包里的if(cost * amount >= C)是为了保证接下来0/1背包能够算出正确的结果。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN = 1010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int num[7];
int f[20002*6];
int sum;

const int n = 6;
int C;

void init()
{
	sum = 0;
	memset(f, -INF, sizeof(f));
	f[0] = 0;
}

void Zp(int cost, int weight)
{
	for(int v = C; v >= cost; v--)
	{
		f[v] = max(f[v], f[v-cost]+weight);
	}
}

void Cp(int cost, int weight)
{
	for(int v = cost; v <= C; v++)
	{
		f[v] = max(f[v], f[v-cost]+weight);
	}
}

void Mp(int cost, int weight, int amount)
{
	if(cost * amount >= C)
	{
		Cp(cost, weight);
		return ;
	}
	else
	{
		int k = 1;
		while(k < amount)
		{
			Zp(k*cost, k*weight);
			amount -= k;
			k *= 2;
		}
		Zp(cost*amount, weight*amount);
	}
}

int read_case()
{
	init();
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		scanf("%d", &num[i]);
		sum += i*num[i];
	}
	if(!sum) return 0;
	return 1;
}

int dp()
{
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		Mp(i, i, num[i]);
	}
	if(f[C] > 0) return 1;
	return 0;
}

void solve()
{
	if(sum & 1) { 	printf("Can't be divided.\n"); return ;}
	C = sum/2;
	int ans = dp();
	if(ans) printf("Can be divided.\n");
	else printf("Can't be divided.\n");
}

int main()
{
	int times = 0;
	while(read_case())
	{
		if(times) printf("\n");
		printf("Collection #%d:\n", ++times);
		solve();
	}
	return 0;
}