扩展欧几里德算法(数论初步) By ACReaper

扩展欧几里德算法主要用来求ax + by = d这样的等式的整数解，当且仅当gcd(a,b) = d时该算法可直接求该等式，当gcd(a,b) != d时，可先求ax + by = gcd(a,b)，然后按照进行值统一法，见解求解。

首先统一如下知识

1. a mod b = a - floor(a / b) * b

其实这个等式只是用数学语言描述的很严格，我们以前上小学时就学过了怎么计算除法，除不进就有余数，那是的那种方法其实就是向下取整的求法。

2.其实这个算法要理解并不难，关键是人家怎么想到的，首先我们知道gcd(a,b) == gcd(b, a mod b),也就是说ax + by = gcd(b,a mod b) = .... 直到 a’ mod b‘ == 0即gcd(b’,a' mod b'== 0),此时就代表着系数a = b‘，b = 0，我们就可以直接求出x的值了,于是又可一回代入上层的gcd(a’,b')。

算法分析:

对于b ！= 0，Extended-Euclid(a,b),先计算d' = gcd(b, a mod b)和d‘ = bx’ + （a mod b）y‘（由ax + by = gcd(a,b)可知），于是有d = d’ = bx‘ + （a - floor（a / b） b）y’ = ay' + b(x' - floor(a/b)y')

所以算法(伪代码)可如下

Extended-Euclid（a,b）

if(b == 0)

return (a,1,0)//gcd(a,0) == a,ax + 0 = a,x == 1

             (d',x',y')  = Extend-Euclid(b, a mod b)

            (d,x,y) = (d',y',x' - floor(a / b)y')

           return (d,x,y);

我的C代码实现

#include <stdio.h>
void Extend_Eculid(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
	if(b == 0){
		d = a,x = 1,y = 0;
	}else{
		int x1,y1;
		Extend_Eculid(b, a % b,d,x1,y1);
		x = y1,y = x1 - (a /b) * y1; 
	}
}
int main(){
	int d,x,y;
	Extend_Eculid(99,78,d,x,y);
	printf("%d %d %d",d,x,y);
}