四元数(Quaternions)

为什么使用四元数

为了回答这个问题，先来看看一般关于旋转（面向）的描述方法－欧拉描述法。它使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴，简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身就失去了任意轴的自主性，这也就导致了万向轴锁（Gimbal Lock）的问题。

还有一种是轴角的描述方法（即我一直以为的四元数的表示法），这种方法比欧拉描述要好，它避免了Gimbal Lock，它使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,angle)，一般表示为(x,y,z,w)或者(v,w)。但这种描述法却不适合插值。

那到底什么是Gimbal Lock呢？正如前面所说，因为欧拉描述中针对x,y,z的旋转描述是世界坐标系下的值，所以当任意一轴旋转90°的时候会导致该轴同其他轴重合，此时旋转被重合的轴可能没有任何效果，这就是Gimbal Lock，这里有个例子演示了Gimbal Lock，点击这里下载。运行这个例子，使用左右箭头改变yaw为90°，此时不管是使用上下箭头还是Insert、Page Up键都无法改变Pitch，而都是改变了模型的roll。

那么轴、角的描述方法又有什么问题呢？虽然轴、角的描述解决了Gimbal Lock，但这样的描述方法会导致差值不平滑，差值结果可能跳跃，欧拉描述同样有这样的问题。

 

什么是四元数

四元数一般定义如下：

q=w+xi+yj+zk

其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:

i*i=-1

j*j=-1

k*k=-1

也可以表示为：

q=[w,v]

其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。

四元数也是可以归一化的，并且只有单位化的四元数才用来描述旋转（面向），四元数的单位化与Vector类似，

首先||q|| = Norm(q)=sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

因为w2 + x2 + y2 + z2=1

所以Normlize(q)=q/Norm(q)=q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

说了这么多，那么四元数与旋转到底有什么关系？我以前一直认为轴、角的描述就是四元数，如果是那样其与旋转的关系也不言而喻，但并不是这么简单，轴、角描述到四元数的转化：

w = cos(theta/2)

x = ax * sin(theta/2)

y = ay * sin(theta/2)

z = az * sin(theta/2)

其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度，为什么是这样？和轴、角描述到底有什么不同？这是因为轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。

 

关于四元数的运算法则和推导这里有篇详细的文章介绍，重要的是一点，类似与Matrix的四元数的乘法是不可交换的，四元数的乘法的意义也类似于Matrix的乘法－可以将两个旋转合并，例如：

Q=Q1*Q2

表示Q的是先做Q2的旋转，再做Q1的旋转的结果，而多个四元数的旋转也是可以合并的，根据四元数乘法的定义，可以算出两个四元数做一次乘法需要16次乘法和加法，而3x3的矩阵则需要27运算，所以当有多次旋转操作时，使用四元数可以获得更高的计算效率。

 

为什么四元数可以避免Gimbal Lock

在欧拉描述中，之所以会产生Gimbal Lock是因为使用的三角度系统是依次、顺序变换的，如果在OGL中，代码可能这样：

glRotatef( angleX, 1, 0, 0)

glRotatef( angleY, 0, 1, 0)

glRotatef( angleZ, 0, 0, 1)

 

注意：以上代码是顺序执行，而使用的又是统一的世界坐标，这样当首先旋转了Y轴后，Z轴将不再是原来的Z轴，而可能变成X轴，这样针对Z的变化可能失效。

而四元数描述的旋转代码可能是这样：

TempQ = From Eula(x,y,z)

FinalQ =CameraQ * NewQ

theta, ax, ay, az = From (FinalQ)

glRotatef(theta, ax, ay, az);

其中(ax,ay,az)描述一条任意轴，theta描述了绕此任意轴旋转的角度，而所有的参数都来自于所有描述旋转的四元数做乘法之后得到的值，可以看出这样一次性的旋转不会带来问题。这里有个例子演示了使用四元数不会产生Gimbal Lock的问题。

 

关于插值

使用四元数的原因就是在于它非常适合插值，这是因为他是一个可以规格化的4维向量，最简单的插值算法就是线性插值，公式如：

q(t)=(1-t)q1+t q2

但这个结果是需要规格化的，否则q(t)的单位长度会发生变化，所以

q(t)=(1-t)q1+t q2 / || (1-t)q1+t q2 ||

如图:

 

尽管线性插值很有效，但不能以恒定的速率描述q1到q2之间的曲线，这也是其弊端，我们需要找到一种插值方法使得q1->q(t)之间的夹角θ是线性的，即θ(t)=(1-t)θ1+t*θ2，这样我们得到了球形线性插值函数q(t)，如下：

q(t)=q1 * sinθ(1-t)/sinθ + q2 * sinθt/sineθ

如果使用D3D，可以直接使用D3DXQuaternionSlerp函数就可以完成这个插值过程。

 

四元数插值的魅力在于：
很明显，但你想要一个物体由一个方向转向另一个方向时，使用欧拉角也可以平滑的实现旋转，没有必要使用四元数（虽然它的确可行）。但是，当你不知道怎样将一个物体有方向A转向C，只知道先由A-〉B，再由B-〉C。此时，四元数九派上用场了。因为，四元数可轻易的把两个旋转合成一个。然后，这就转化成了一个方向的旋转问题了。插值就很容易了。：）

（下面内容来自于DX9SDK帮助文档）
When you use composition and interpolation together, they provide you with a simple way to manipulate a geometry in a manner that appears complex. For example, imagine that you have a geometry that you want to rotate to a given orientation. You know that you want to rotate it r2 degrees around axis2, then rotate it r1 degrees around axis1, but you don't know the final quaternion. By using composition, you could combine the two rotations on the geometry to get a single quaternion that is the result. Then, you could interpolate from the original to the composed quaternion to achieve a smooth transition from one to the other.

转载出处：http://blog.csdn.net/fengerfafa/archive/2007/12/18/1946718.aspx