100层楼摔2个PS3的智力题

前几天帮忙电话面试,问了这道经典的题目。当然,我第一次看是摔2个鸡蛋,第二次看是摔2个XBox,到我这里改成摔PS3了……与时俱进。 题目的原文是:现在有100层楼,已知PS3(XBox,鸡蛋……等等)从其中某层开始,摔下来后就会损坏。现在给你2台PS3,那么最少摔几次就肯定可以确定这个层数? 这里面当然有一些隐含的规则,比如说必须在N-1层摔过正常在N层摔过损坏才能得到结论,比如说摔坏后这个PS3就无法继续验证了,比如说2台都摔坏而得不出结论时就Game Over,等等。 被问的很多人一开始有点摸不着头脑,所以还需要举一个例子。比如说,我先用第一个PS3来确认一个大范围,把他从50层摔下去。如果损坏,那么拿第二个PS3从第1层开始逐层摔,直到找到那个N-1层正常N层损坏的那个N。如果正常,那么再从75层摔下去……这样2分。这就是一种策略。 比较聪明的受问者这个时候开始有反应了。这样一来的话,最坏的情况就是N为50或者49。为了得到结论,必须第一个PS3从50层摔下去损坏后,第二个PS3从1层摔到49层才能得出结论。总共需要50次,太多了。而实际上,因为摔下去正常的PS3完全可以继续用来做下一次验证,所以完全没有必要一开始从50层开始验证。 有人给的方案是先从10层,正常就20层,等等……直到损坏。那么当第一台PS3损坏时,范围已经缩小到类似11层到20层这样10层的小范围内,此时再用第二台PS3从11层摔起。这种方案的最坏情况是N为100或者99。此时第一台必须摔10次,第二台必须摔9次才能确认,总共需要19次。 标准的回答是先从14层摔,正常就27层,然后依次39,50,60,69,77,84,90,95,99,100层。如果14层损坏,那么用第二个PS3从1层摔到13层,最多总共13次,加上第一个PS3的1次,最多一共14次可以得到结果。如果27层损坏,那么从15层摔倒26层,最多总共12次,加上第一个PS3的2次,最多一共14次可以得到结果……等等。最终这个方案在任何情况下都能保证14次验证后就能得到结果。 本来原来的题目到这里就结束了。但是实际上,这里面还有很多东西。 首先就是,这个方案只是说明了,存在一种策略使得最多14次就能找到答案N,如何证明这14次是最少的?其次,这个方案是如何想到的?再次,如果说,因为Sony最近的降价我可以再给你一台PS3做实验,那么答案变成多少呢? #剩下明天再写 #最近一段时间脑子比较木,答案一开始算成了15,实在是不好意思啊。感谢hua大力提醒! 承接上回,有什么思路呢? 当那个10层为单位开始摔的方案提出来后,可能很快就有人反应出来,整个验证的方案的骨架已经搭起来了。就是先用第一台PS3来确认一个区间,然后用第二台PS3来具体确定层数。而且,由于第一台每多摔一次,就意味着第二台必须少摔一次才能让总共摔的最多次数持平,这样一来,第一台摔的楼层一定是L,L+(L-1),L+(L-1)+(L-2)……这样的序列,而第二台验证的层数也相应的为L-1,L-2……。这样就能保证总共最多摔L次就可以知道结果。显然,当第一台摔到第L次的时候,其应该从L(L+1)/2层摔。那么求一下L(L+1)/2>100的最小的L,答案就是14了。而且非但有了答案,也顺便把方案都给出来了。 不过如何证明这样的14一定是最小的呢?如果说13不满足L(L+1)/2>100的条件的话,那只能说按照上述的方案13次不可能,怎么能够证明不存在一个方案,在任何情况下最多摔13次就可以找到答案N呢? 我想不管任何问题,解决的主要思路不外乎归纳和演绎。 首先明确一些事实。比如说不管如何摔,一台PS3在摔坏之时,总是确定了那个楼一个范围,也就是N一定会在上次摔(结果正常)的那层的上一层到本次摔的这层。而如果这之间没有其它层,那么答案N就是当前摔坏的这层。 如果只有一台PS3,那么怎么办呢?此时候没有任何办法,老老实实的从第一层摔吧。那么可以知道,对于一台PS3,其最多验证次数F等于其验证层数。换句话说,如果给一台PS3F次摔的指标,那么最多能验证连续的F层。 好了,现在回到问题,有两台PS3供选择。显然,如果假定最后摔了L次的话,那么第一台和第二台PS3分别摔的次数只能是(L,0),(L-1,1)……这样的数对。而由归纳,第二台PS3在摔F次的时候最多只能验证F层,因此第一台摔L-F次后必须把答案确定在F层的一个区间内才行。如此一来,前面阐述的那个方案,不仅仅是最优的,而且是必然的。 所以,经过归纳可知,如果给两台PS3F次摔的指标,那么最多能验证连续的1+2+…+F = F(F+1)/2层。 依次类推,如果给三台PS3同样F次摔的指标,那么最多能验证连续的1+3+6+……+F(F+1)/2 = F(F+1)(F+2)/6层。 这样算下去,即便有再多的PS3,也能用一个公式来套住。 这个应该算一个覆盖问题,估计华校或者小学奥数班里面会有类似的题目。到底应该怎么去思考,本身就不是固定的事情。对于天才,或许自由一点能够找到更巧妙的方法。不过,我更相信大多数人只需要一种通用的,稳定的,能够解决问题的方法…… #最近忙的一个Bug,其实也不能算Bug,属于那种看上去完全摸不着头脑的那种。最后还是从头开始一点一点抠出少许希望来了。既然没有那种一眼找到症结的天才,沿着一条固定而稳定的路走也不失一种好的选择么。 原文链接:http://hi.baidu.com/kevinwang2006/blog/item/8a5ad8f4675233e97709d79b.html

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