pde基础

来源： http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/DSolveIntroductionToPDEs.zh.html

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偏微分方程（PDE）概述

一个偏微分方程（PDE）是一个未知函数   及其关于变量   的导数的关系.

下面是偏微分方程的一个例子.

In[1]:=

偏微分方程在应用中自然地出现，它们对关于空间变量和时间变量的一个物理量的变化率的建模. 在这个发展阶段， DSolve 通常只适用于有两个自变量的偏微分方程.

一个偏微分方程的阶数是其中出现的最高次导数的次数. 前面的方程是一个一阶偏微分方程.

一个函数   是给定的偏微分方程的一个解，如果   以其导数满足该方程.

下面是前面的方程的一个解.

In[2]:=

Out[2]=

这里验证解的正确性.

In[3]:=

Out[3]=

以下是偏微分方程的一些众所周知的例子（点击表中的链接会弹出相关的例子）.  DSolve 给出所有这些类型的方程的符号解，它们具有一定的限制，尤其是二阶偏微分方程.

方程名	一般形式	分类
输运方程	其中  为常量	线性一阶偏微分方程
Burgers 方程		拟线性一阶偏微分方程
程函方程		非线性一阶偏微分方程
拉普拉斯方程		线性二阶椭圆型偏微分方程
波动方程	其中  为光速	线性二阶双曲型偏微分方程
热方程	其中  为热扩散系数	线性二阶抛物型偏微分方程

回想一下，偏微分方程的通解涉及任意函数，而不是任意常数. 对此可以从下面的例子中看到原因.

关于  y 的偏导数没有出现在这个例子中，因此，一个任意函数  C[1][y] 可以被添加到解中，因为  C[1][y] 关于  x 的偏导数为0.    

In[4]:=

Out[4]=

如果解中存在一些任意函数，它们被标记为  C 、 C  等等.

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