USACO Feed Ratios, Magic Squares

本质上讲，这两道题都是数学题，ratios是行列式解线性方程组，squares是组合数学。可见ACMer数学基础好确实是非常重要的。

1、Feed Ratios

所求的实际上就是一个最简配比 x, y, z, w，使得 x(a1,b1,c1) + y(a2,b2,c2) + z(a3,b3,c3) = w(g1,g2,g3)，我线性代数也忘得差不多了，不过对克莱姆法则还有一点印象。

1. /*
2. ID:fairyroad
3. LANG:C++
4. TASK:ratios
5. */
6.  
7. #include <fstream>
8. using  namespace std ;
9.  
10. ifstream fin ( "ratios.in" ) ;
11. ofstream fout ( "ratios.out" ) ;
12.  
13. const  int LEN  =  3 ;
14. int dest [LEN ] ;
15. int matrix [LEN ] [LEN ], backup [LEN ] [LEN ] ;
16.  
17. void cofactor ( const  int a [ ] [LEN ],  int b [ ] [LEN ],  int n,  int k )
18. {
19.      int bi  =  0, bj  =  0 ;
20.      for ( int i  =  1 ; i  < n ;  ++i )
21.      {
22.          for ( int j  =  0 ; j  < n ;  ++j ) {
23.              if (j ==k )
24.              continue ;
25.             b [bi ] [bj ]  = a [i ] [j ] ;
26.             bj ++ ;
27.          }
28.         bi ++ ;
29.         bj  =  0 ;
30.      }
31. }
32.  
33. int deter ( int a [ ] [LEN ],  int n )
34. {
35.      if (n == 1 )
36.      return a [ 0 ] [ 0 ] ;
37.      else
38.      {
39.          int sum  =  0 ;
40.          for ( int i  =  0 ; i  < n ;  ++i )
41.          {
42.              int b [LEN ] [LEN ]  =  { 0 } ;
43.             cofactor (a,b,n,i ) ;
44.              int coef  =  ( (i % 2 == 0 ) ? 1 : - 1 ) ;
45.             sum  + =  (coef *a [ 0 ] [i ] *deter (b,n - 1 ) ) ;
46.          }
47.          return sum ;
48.      }
49. }
50.  
51. void change ( int curr,  int last  =  - 1 )
52. {
53.      if (last  ! =  - 1 )
54.      {
55.          for ( int i  =  0 ; i  < LEN ;  ++i )
56.         matrix [last ] [i ]  = backup [last ] [i ] ;
57.      }
58.  
59.      for ( int i  =  0 ; i  < LEN ;  ++i )
60.     matrix [curr ] [i ]  = dest [i ] ;
61. }
62.  
63. int gcd ( int m,  int n )
64. {
65.      if  (m  ==  0 )  return n ;
66.      if  (n  ==  0 )  return m ;
67.      if  (m  < n )
68.      {
69.          int tmp  = m ;
70.         m  = n ;
71.         n  = tmp ;
72.      }
73.      while  (n  ! =  0 )
74.      {
75.          int tmp  = m  % n ;
76.         m  = n ;
77.         n  = tmp ;
78.      }
79.      return m ;
80. }
81.  
82. int main ( )
83. {
84.      for ( int i  =  0 ; i  < LEN ; i ++ )
85.         fin  >> dest [i ] ;
86.  
87.      int num ;
88.      for ( int i  =  0 ; i  <  3 ; i ++ )
89.      {
90.          for ( int j  =  0 ; j  <  3 ; j ++ )
91.          {
92.             fin  >> num ;
93.             matrix [i ] [j ]  = num, backup [i ] [j ]  = num ;
94.          }
95.      }
96.  
97.      int res1  = deter (matrix ,LEN ) ;
98.      if (res1  ==  0 )  {
99.         fout  <<  "NONE\n" ;
100.          return  0 ;
101.      }
102.  
103.     change ( 0,  - 1 ) ;
104.      int res2  = deter (matrix, LEN ) ;
105.  
106.     change ( 1,  0 ) ;
107.      int res3  = deter (matrix, LEN ) ;
108.  
109.     change ( 2,  1 ) ;
110.      int res4  = deter (matrix, LEN ) ;
111.  
112.      if (res1  <  0 )
113.      {
114.         res1  =  -res1 ;
115.         res2  =  -res2 ;
116.         res3  =  -res3 ;
117.         res4  =  -res4 ;
118.      }
119.  
120.      if (res2  <  0  || res3  <  0  || res4  <  0 )
121.      {
122.         fout  <<  "NONE\n" ;
123.          return  0 ;
124.      }
125.  
126.      int tmp  = gcd (gcd (res2, gcd (res3, res4 ) ), res1 ) ;
127.     fout  << res2 /tmp  <<  ' '  << res3 /tmp  <<  ' '  << res4 /tmp  <<  ' '  << res1 /tmp  <<  '\n' ;
128.  
129.      return  0 ;
130. }

值得一提的是求解行列式的值，也是个比较好的递归的示例吧，我想大学里的《线性代数》课完全可以用编程来教嘛...

2、Magic Squares

这题还是蛮好的，整体思路要上考虑BFS，然后一个比较难的地方是设计一个好的HASH函数，因为BFS通常是很耗费空间的，要是HASH函数还没有比较好的空间利用率，可能会掉链子，当然这道题数据量不大，8位数码板，总共也就8! = 4W多种情况，但是你是程序员，多少得精益求精一点，所以，有了康托展开定理。

设Sn = {1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列，如S3 = {1,2,3} 按从小到大排列一共6个 123 132 213 231 312 321。那么找出S5中45231在这个排列中所在的位置可以用下面的思路：

1. 比4小的数有3个
2. 比5小的数有4个但4已经在之前出现过了所以是3个
3. 比2小的数有1个
4. 比3小的数有两个但2已经在之前出现过了所以是1个
5. 比1小的数有0个
6. 那么45231在这个排列中的顺序是3*4!+3*3!+1*2!+1*1!+0*0!+1=94

空间还是可以的，时间表现一般吧，广搜是一般的思路，有谁能想出来启发式算法吗？

1. /*
2. ID:fairyroad
3. LANG:C++
4. TASK:msquare
5. */
6. #include <fstream>
7. #include <vector>
8. #include <deque>
9. #include <string>
10. using  namespace std ;
11. ifstream fin ( "msquare.in" ) ;
12. ofstream fout ( "msquare.out" ) ;
13. typedef vector < int > VInt ;
14. typedef  void Fun ( const VInt &, VInt & ) ;
15. typedef Fun * FunPtr ;
16.  
17. const  int MAX_NUM   =  40321 ;
18. const  int MSQUARE_SIZE  =  8 ;
19. const  int FRAC [MSQUARE_SIZE ] =  { 1,  1,  2,  6,  24,  120,  720,  5040 } ;
20. const string sFlag  =  "ABC" ;
21. bool HashTable [MAX_NUM ]  =  { 0 } ;
22.  
23. struct msquare
24. {
25.     msquare ( )  : vState (MSQUARE_SIZE ), sPath ( )  { }
26.     VInt vState ;
27.     string sPath ;
28. } ;
29.  
30. deque <msquare > Q ;
31.  
32. void SwapRow ( const VInt & vSrc, VInt & vRes )
33. {
34.     vRes. resize ( 8 ) ;
35.      int i, j  =  0 ;
36.      for (i  =  4 ; i  <  8 ;  ++i,  ++j )
37.         vRes [j ]  = vSrc [i ] ;
38.      for (i  =  0 ; i  <  4 ;  ++i,  ++j )
39.         vRes [j ]  = vSrc [i ] ;
40. }
41.  
42. void SwapColumn ( const VInt & vSrc, VInt & vRes )
43. {
44.     vRes. resize ( 8 ) ;
45.     vRes [ 0 ]  = vSrc [ 3 ] ;
46.      for ( int i  =  1 ; i  <  4 ;  ++i )
47.         vRes [i ]  = vSrc [i - 1 ] ;
48.  
49.     vRes [ 4 ]  = vSrc [ 7 ] ;
50.      for ( int i  =  5 ; i  <  8 ;  ++i )
51.         vRes [i ]  = vSrc [i - 1 ] ;
52. }
53.  
54. void RotateMiddle ( const VInt & vSrc, VInt & vRes )
55. {
56.     vRes  = vSrc ;
57.     vRes [ 1 ]  = vSrc [ 5 ] ;
58.     vRes [ 2 ]  = vSrc [ 1 ] ;
59.     vRes [ 5 ]  = vSrc [ 6 ] ;
60.     vRes [ 6 ]  = vSrc [ 2 ] ;
61. }
62.  
63. inline  int Contor (VInt & v )
64. {
65.      int ans  =  0 ;
66.      for  ( int i  =  0 ; i  <  8 ; i ++ )
67.      {
68.          int tmp  =  0 ;
69.          for  ( int j  = i + 1 ; j  <  8 ; j ++ )  if  (v [i ]  > v [j ] )  ++tmp ;
70.         ans  + = tmp  * FRAC [ 7 -i ] ;
71.      }
72.      return ans + 1 ;
73. }
74.  
75. int main ( )
76. {
77.     VInt vDest (MSQUARE_SIZE ), vStart (MSQUARE_SIZE ) ;
78.      for ( int i  =  0 ; i  <  4 ;  ++i )
79.         fin  >> vDest [i ] ;
80.      for ( int i  =  7 ; i  >=  4 ;  --i )
81.         fin  >> vDest [i ] ;
82.  
83.      for ( int i  =  0 ; i  <  4 ;  ++i )
84.         vStart [i ]  = i  +  1 ;
85.      for ( int i  =  7, j  =  4 ; i  >=  4 ;  --i,  ++j )
86.         vStart [j ]  = i  +  1 ;
87.  
88.      if (vStart  == vDest )
89.      {
90.         fout  <<  0  << endl  << endl ;
91.          return  0 ;
92.      }
93.  
94.     FunPtr funArr [ 3 ] ;
95.     funArr [ 0 ]  = SwapRow, funArr [ 1 ]  = SwapColumn, funArr [ 2 ]  = RotateMiddle ;
96.  
97.     msquare m ;
98.     m. vState  = vStart ;
99.     Q. push_back (m ) ;
100.  
101.     VInt vTmp ;
102.      int HashValue  = Contor (vStart ) ;
103.     HashTable [HashValue ]  =  true ;
104.  
105.      while ( !Q. empty ( ) )
106.      {
107.          for ( int i  =  0 ; i  <  3 ;  ++i )
108.          {
109.             m  = Q. front ( ) ;
110.             vTmp. clear ( ) ;
111.             funArr [i ] (m. vState, vTmp ) ;
112.  
113.              if (vTmp  == vDest )
114.              {
115.                 m. sPath  + = sFlag [i ] ;
116.                  size_t size  = m. sPath. size ( ), start  =  0, len ;
117.                 fout  << size  << endl ;
118.                  while ( true )
119.                  {
120.                      if (size  >  60 )
121.                      {
122.                         len  =  60 ;
123.                         start  + = len ;
124.                         size  - = len ;
125.                         fout  << string (m. sPath, start, len )  << endl ;
126.                      }
127.                      else
128.                      {
129.                         len  = size ;
130.                         fout  << string (m. sPath, start, len )  << endl ;
131.                          return  0 ;
132.                      }
133.                  }
134.              }
135.  
136.             HashValue  = Contor (vTmp ) ;
137.              if ( !HashTable [HashValue ] )
138.              {
139.                 m. vState  = vTmp ;
140.                 m. sPath  + = sFlag [i ] ;
141.                 Q. push_back (m ) ;
142.                 HashTable [HashValue ]  =  true ;
143.              }
144.          }
145.         Q. pop_front ( ) ;
146.      }
147.  
148.      return  0 ;
149. }