位运算常见应用即ACM题优化实例

文章组织：
1、基本操作符
2、需要注意的问题
3、一些小应用
4、针对具体题目的应用
1> 搜索类
2> 字符串类
3> 其他类

基本操作符
与 &
或 |
异或 ^
左右移位 << / >>
取反 ~

需要注意的问题：
1、优先级，这是个非常严重的问题，在进行位运算的时候优先级太容易被忽略掉了
尤其要注意的：
移位运算符, 单目的取反运算符~的优先级比比较运算符高。但是，&, |, ^的优先级是比比较运算符低的！，这点一定要注意
如6 & 6 > 4的结果是0， 而不是 true; (6 & 6) > 4的结果才是true，所以要注意勤加括号

2、速度
位运算的速度是非常快的，你甚至可以忽略他的耗时，但是毕竟操作肯定是有耗损的。
所以，应该尽量使用
^=， |= ，&= 之类的操作，比如说a ^= b， 速度比 a = a ^ b快，因为前者是直接在a上进行操作，而 a = a ^ b的第二个a，是一个a 的副本，可见在操作中程序对a复制了一次，运算的结果又对原来的a做了一次赋值

3、范围（要当心移位运算时发生范围溢出）

常用操作：
1、交换两个元素的值：a ^= b ^= a ^= b，不用借助第三个变量

2、不查表统计1的数量
int BitCnt(unsigned int n) {
int value = 0;
while (n) ++value, n &= n - 1;
return value;
}

3、循环位移
unsigned shift(unsigned now, int n, int N) { //n正表示左移，否则为右移
if (n > 0)
   now = (now >> (N - n)) | (now << n);
if (n < 0) {
   n = -n;
   now = (now << (N - n)) | (now >> n);
}
now &= base;
return now;
}

4、k位取反
a=~(~a^(a<<k))

优势：
速度快，
节省空间，又导致了速度快

POJ的题目上：

大类1：搜索
此处不讲题目，只讲位运算是怎样在这些题中实现和应用的。由于搜索题往往是基于对状态的操作，位运算往往特别有效，优化之后的效果可以有目共睹。

例1、POJ 1324
根据题目，确定了对状态的表示之后（记录当前状态的蛇头x, y值与剩下部分的运动状态），一般容易想到剩下部分的运动状态用一个数组(比如x[n-1], n为蛇节点数，n[0]为第二个节点的运动趋势)去表示，且一个数组元素的值为0，1，2，3，即四个方向，蛇每次移动，这个方向数组需要更新一次，更新是很简单的，除了n[0]更新之外，剩下的 n[i]等于上一轮的n[i-1]（i>1)；如果用数组，就必须用一个循环去更新它，这样会导致程序速度不是很理想，所以可以想到用位运算去模拟，简言之，就是把原来的一个数组压缩的一个变量上去存储，原来任何一个数组元素的值范围0~3， 用二进制表示就是 00 ~ 11，最多占用2位，这样，我们就可以通过移位运算，和或运算去实现所以操作。

基本技巧: 如果给你个一个方向序列 a0, a1, a2, a3, .... a(n-1),放到变量b中，且以最低位表示an，可以用如下循环
b = 0;
for(i=0; i<n; i++)
     b = (b<<2) | a[i];
即，每次把已经处理好的位段向上移两位，这样，在低位就会自动补齐两个0，用一个 | 操作，就吧新的值给放进变量中了。

如果要从b中复原，则可使用 >> 的办法

for(i=0; i<n; i++)
       a[n-1-i] = (b >> (i*2)) & 3；
移位会将低位元素除掉，而 & 3则是把移到低位的元素取出。

更高效的方法是(两种方法的前提都是不改变b的值)

t = b;
for(i=0; i<n; i++){
    a[n-1-i] = t & 3;
    t >>= 2;
}
高效的原因如帖子开头所述。

在表示状态的位段操作中，最好将变量设为unsigned int (short)型，因为有符号型(负数的最高位（符号位）为1)的 >>操作加在负数上时会在右边引入1而不是0， 这基本上不会是你想要的操作。

例2、POJ 3460 Booksort
这题可以在对书进行交换的时候应用位运算，也许你认为用数组去模拟更为直观，但是看看下面的实现，也许你就不那么认为了。
书最大编号15，
这样就开一个64位整形，每4位表示一本书
首先预处理，计算出两张表
extract[i][j] 和 clear[i][j]分别表示把书架上第i到j本书取出或清空，显然在i到j一段，位上全是1，而其他部分是0，而clear[i][j]就是extract[i][j]的取反

计算方法如下：

typedef unsigned long long longint;
const longint base = 15;//这是必须注意的，普通的常数15是整形，在以下的操作中会越界

for (i = 0; i < 15; i++) {
   extract[i][i] = base << (i * 4);
   clear[i][i] = ~extract[i][i];
   for (j = i + 1; j < 15; j++) {
    extract[i][j] = extract[i][j-1] | (base << (j * 4));
    clear[i][j] = ~extract[i][j];
   }
}
计算出这些以后，交换书就变得异常简单

inline void transposition(longint &cur, longint &next, int &i, int &k, int &j) {//i,k段与k+1,c段置换
next = cur & clear[i][j];
next |= (cur & extract[i][k]) << ((j - k) << 2);
next |= (cur & extract[k+1][j]) >> ((k - i + 1) << 2);
}

先把i到j全部清空后的值赋给next,把 i, k段的书取出，移到高位（差值为(j - k) * 4），同理，再把k+i到j段的值取出移到低位。
如此清楚明了，而如果用数组的话，10+行的语句是少不了的，而且容易搞错。

例3：HOJ 八数码问题
http://acm.hnu.cn:8080/online/?action=problem&type=show&id=10466
这题用位运算我倒是没有达到更快，空间稍微节省了些。
另外，这题的测试数据很强的说，赞一个。

用64位的整形去表示整个状态，其中每4位表示一个数码（0~8），如果是用char数组，则用9个，用了72位。
取出某一位和清空某一位的掩码事先要计算好
这样做比用一个整形数如 123480567 之类的去表示更有优势，因为显然取出某一位的速度非常快，不需要 % 10, /10之类耗时的操作，如果这样实现的话就不要用stl的map了，我无聊地试了次，相当之慢。还是老老实实康托展开的好。不过和开char数组的速度差不多的说（虽然说赋值时间大了，但毕竟别人是数组，呵呵，要是有每4位做一个单位的数组就好了——不要跟我说用struct里面定义的位段啊，那相当的慢）。

最近还做了一个POJ 2286，可以用位运算，但貌似有些麻烦，没用，结果被一个用pascal的小子超在前面，哪天状态好了要把这题改用位运算去做，就不信刷不到 0ms.

更新中...

大类二：字符串的hash与查找

大家都知道Rabin-Karp算法吧，其实Rabin-Karp实现后慢的一个原因是太多的模运算了，实际上，我们可以通过位运算隐式地取模

原链接如下：http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node5.html#SECTION0050

它开了一个int型，每次用移位代替乘法，又由于整形是有范围的，但移位超过了范围，效果就相当于做了一次 mod INT_MAX的操作。这样改进后速度提高了一倍。

POJ 2513 Colored Sticks就可以考虑使用此种方法的hash，他的冲突也是非常小的。当然有更高效的的字符串位运算hash算法，由于某些原因，我就不在这说了。

//待续

大类三：