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线性代数(四十四) ： 正交矩阵

本节延续上节的内容,介绍等距映射的一个特例.正交矩阵.(orthogonal matrix)

1 正交矩阵

如果某矩阵是从R^n到自身的映射,并且是等距映射.则称该矩阵是正交矩阵

全体同阶的正交矩阵在矩阵乘法运算下构成一个群.这是因为等距映射的复合仍是等距映射.

并且等距映射都可逆.

2 特殊正交群

行列式为1的正交矩阵构成一个子群.叫做特殊正交群.

三维空间中的旋转矩阵就是特殊正交群的一个典型例子


3 反射矩阵

三维空间中关于某平面的反射映射是一类特殊的正交矩阵，性质如下:

(i)反射映射是等距映射

(ii)反射映射的平方是恒通映射(R^2=I)

(iii)伴随是其自身


4 正交矩阵的充要条件

M 是正交矩阵, 当且仅当M的列是两两正交的单位向量.


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