poj1061青蛙的约会

  拿到这道题之后，很快就会把它转化为 ax+by=d的求解问题（a,b,d已知，求x,y)。这个问题如何求解呢。

  我一开始用穷举。很显然，会TLE.

 然后，看了别人的解题方法。原来这就是传说中的扩展的欧几里得问题。

 用欧几里得求两个数的最大公约数大家都会。但是这个扩展的欧几里得就不那么好理解了。

 在网上找的对扩展的欧几里得的理解：

扩展欧几里德算法理解（By ruiqi）
欧几里德算法很好理解了。但是扩展了一下却一直弄的不明不白。
网上关于这个的讲解是很多了。但总体说来都不是太好理解。
思索了好长时间,总结了下面的思路:(自我感觉良好了)
扩展欧几里德定理
对于与不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数。那么存在整
数 x,y 使得 gcd(a,b)=ax+by。(貌似 x,y 也是唯一的,这个我不是太清楚的)。
最重要的是怎么理解下面的代码了:
#inc lude<iostream>
using namespace std;
int x,y,q;
void extend_Eulid(int a,int b)
{
if (b==0)
{
x=1; y=0; q=a;
}
else
{
extend_Eulid(b,a%b);
int temp=x;
x=y; y=temp-a/b*y;
}
}
int main()
{
int a,b;
cin>>a>>b;
if (a<b) swap(a,b);
extend_Eulid(a,b);
printf("%d=(%d)*%d+(%d)*%d\n",q,x,a,y,b);
}
求解 x,y 的方法的理解
我们不妨设 a>b。
1,显然当 b=0,gcd(a,b)=a。此时 x=1,y=0;
2,ab<>0 时
设 ax1 +by1 =gcd(a,b);
bx2 +(a%b)y2 =gcd(b,a%b);
根据朴素欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
则:ax 1 +by1 =bx2 +(a%b)y2 ;
即:ax 1 +by1 =bx2 +(a-(a/b)*b)y2 =ay2 +bx2 -(a/b)*by2 ;
根据恒等定理得:x1 =y2 ; y1 =x2-(a/b)*y2 ;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基于 x2,y2.
上面的思想是递归定义了,因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0,所以递归可以
结束。
有了这个分析,extend_Eulid 函数的理解也就不难了。

理解了欧几里得，这道题算是解了一半。然后要做的就是对普通的ax+by=d(d并不一定是gcd(a,b))求解。

详细分析过程见http://blog.csdn.net/SwordHoly/article/details/4423543

 做这道题，太扯了，完全是数学啊。 数学，我的痛处。

/*
 * =====================================================================================
 *
 *       Filename:  1061.c
 *
 *    Description:  
 *
 *        Version:  1.0
 *        Created:  2011年12月08日 11时27分16秒
 *       Revision:  none
 *       Compiler:  gcc
 *
 *         Author:  MaZheng (blog.csdn.net/mazheng1989), [email protected]
 *        Company:  Dalian University Of Technology
 *
 * =====================================================================================
 */


#include<stdio.h>

//please declare parameters here.
long long k,t,d;

//please declare functions here.
void extend_gcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
	{
		k=1;
		t=0;
		d=a;
	}
	else
	{
		extend_gcd(b,a%b);
		long long temp;
		temp=k;
		k=t;
		t=temp-(a/b)*t;
	}
}
int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
    long long a,b;
    long long int x,y,m,n,l;
	//input your ...
	while(scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
	{
		a=m-n;
		b=y-x;
		if(a<0)
		{
			a=-a;
			b=-b;
		}
		extend_gcd(a,l);
		if(b%d!=0)
		{
			printf("Impossible\n");
		}
		else
		{
			k=k*b/d;
			t=t*b/d;
			l=l/d;
			if(k>=0)
				k=k%l;
			else
				k=k%l+l;
			if(k==0)
				k=l;
			printf("%lld\n",k);
		}
//		printf("%lld %lld %lld %lld %lld",x,y,m,n,l);
	}

	return 0;
}