java数据结构_笔记(5)_图的算法续
图的算法续
上一篇
5 最短距离
在许多应用领域，带权图都被用来描述某个网络，比如通信网络、交通网络。这种情况下，各边的权重就对应于两点之间通信的成本或交通费用。此时，一类典型的问题就是：在任意指定的两点之间如果存在通路，那么最小的消费是多少。这类问题实际上就是带权图中两点之间最短路径的问题。
对于求解最短路径问题：A)有时应当是有向图：如同一信道两个方向的信息流量不同，会造成信息从终端A到B和从终端B到A所需延时不同。B)有时应当是无向图：如从城市A到B和从城市B到A的公路长度都一样。
定理：最短路径的子路径也是最短路径。
5.1 求从某个源点到其余各点的最短路径
迪克斯特拉Dijkstra算法执行规程：S 、V - S 是图的2个顶点集合；S是已求出的最短路径的终点集合；V - S 是尚未求出最短路径的终点集合。
1) 初始化：
S = {s}； distance(s) = 0； distancer(ui) = w(s, ui)或∞ ，(ui ∈ V-S)；
2) 选择distance(uk) = min{distance(ui)|ui ∈ V-S }， uk为下一条最短路径的终点；
3) S = S ∪ { uk }
4) 以uk 为”中转”，修正V-S中各个顶点distance；
distancer(ui) = min{ distance(ui), distance(ui) + w(uk , ui)} (ui ∈ V-S)
5) 重复2) -4)步|V| -1 次
Path对象：
public class Path {
private int distance; //起点与终点的距离
private Vertex start; //起点信息
private Vertex end; //终点信息
private LinkedList pathInfo;//起点到终点的完整路径
public Path() {
this(Integer.MAX_VALUE,null,null);
}
public Path(int distance, Vertex start, Vertex end) {
this.distance = distance;
this.start = start;
this.end = end;
pathInfo = new LinkedListDLNode();
}
//判断起点与终点之间是否存在路径
public boolean hasPath() {
return distance!=Integer.MAX_VALUE&&start!=null&&end!=null;
}
//求路径长度
public int pathLength(){
if (!hasPath()) return -1;
else if (start==end) return 0;
else return pathInfo.getSize()+1;
}
//get&set methods
public void setDistance(int dis){ distance = dis;}
public void setStart(Vertex v){ start = v;}
public void setEnd(Vertex v){ end = v;}
public int getDistance(){ return distance;}
public Vertex getStart(){ return start;}
public Vertex getEnd(){ return end;}
public Iterator getPathInfo(){
return pathInfo.elements();
}
//清空路经信息
public void clearPathInfo(){
pathInfo = new LinkedListDLNode();
}
//添加路径信息
public void addPathInfo(Object info){
pathInfo.insertLast(info);
}
}
关键算法 代码片段：
//求顶点v到其他顶点的最短路径
public Iterator shortestPath(Vertex v) {
LinkedList sPath = new LinkedListDLNode();
resetVexStatus();//重置图中各顶点的状态信息
Iterator it = getVertex();//初始化，将v到各顶点的最短距离初始化为由v直接可达的距离
for(it.first(); !it.isDone(); it.next()){
Vertex u = (Vertex)it.currentItem();
int weight = Integer.MAX_VALUE;
Edge e = edgeFromTo(v,u);
if (e!=null)
weight = e.getWeight();
if(u==v) weight = 0;
Path p = new Path(weight,v,u);
setPath(u, p);
}
v.setToVisited();//顶点v进入集合S,以visited=true表示属于S，否则不属于S
sPath.insertLast(getPath(v));//求得的最短路径进入链接表
for (int t=1;t<getVexNum();t++){//进行n-1次循环找到n-1条最短路径
Vertex k = selectMin(it);//中间顶点k。可能选出无穷大距离的点，但不会为空
k.setToVisited(); //顶点k加入S
sPath.insertLast(getPath(k)); //求得的最短路径进入链接表
int distK = getDistance(k); //以k为中间顶点修改v到V-S中顶点的当前最短路径
Iterator adjIt = adjVertexs(k); //取出k的所有邻接点
for(adjIt.first(); !adjIt.isDone(); adjIt.next()){
Vertex adjV = (Vertex)adjIt.currentItem();
Edge e = edgeFromTo(k,adjV);
if ((long)distK+(long)e.getWeight()<(long)getDistance(adjV)){//发现更短的路径
setDistance(adjV, distK+e.getWeight());
amendPathInfo(k,adjV); //以k的路径信息修改adjV的路径信息
}
}//for
}//for(int t=1...
return sPath.elements();
}
//在顶点集合中选择路径距离最小的
protected Vertex selectMin(Iterator it){
Vertex min = null;
for(it.first(); !it.isDone(); it.next()){
Vertex v = (Vertex)it.currentItem();
if(!v.isVisited()){ min = v; break;}
}
for(; !it.isDone(); it.next()){
Vertex v = (Vertex)it.currentItem();
if(!v.isVisited()&&getDistance(v)<getDistance(min))
min = v;
}
return min;
}
//修改到终点的路径信息
protected void amendPathInfo(Vertex mid, Vertex end){
Iterator it = getPath(mid).getPathInfo();
getPath(end).clearPathInfo();
for(it.first(); !it.isDone(); it.next()){
getPath(end).addPathInfo(it.currentItem());
}
getPath(end).addPathInfo(mid.getInfo());
}
5.2 求每一对顶点之间的最短路径
Floyd弗洛伊德算法, 基本思想是:
1) 从 vi 到 vj 的所有可能存在的路径中，选出一条长度最短的路径。
2) 若< vi, vj >存在，则存在路径{ vi, vj }// 路径中不含其它顶点
3) 若< vi,v1>,< v1, vj >存在，则存在路径{ vi, v1, vj }// 路径中所含顶点序号不大于1
4) 若{ vi,…,v2}, { v2,…, vj }存在，则存在一条路径{ vi, …, v2, …vj }// 路径中所含顶点序号不大于2
…
5) 依次类推，则 vi 至 vj 的最短路径应是上述这些路径中，路径长度最小者。