[置顶] kmp总结及其应用

这个是我的学长关于KMP的总结，感觉比较好。。。

 

 

上几天发现遇到一道kmp题,发现对其理解不够透彻,然后这两天对kmp重新做了一个总结.并在poj上找了部分题目作为测试.
因为帖子里头贴代码,有点长,所以就只写思路了, 具体代码实现可以参考 http://www.cnblogs.com/yefeng1627

kmp含义

　　克努斯-莫里斯-普拉特算法，一种字符串查找算法。

　　字符串算法主要是用于主串 S( s1,s2,s3,...,sn ), 模式串T( t1,t2,...,tm ), 之间的匹配问题.　

　　相对与模式匹配O(n^2)而言: 当 Si != Tj 失配时, 主串下标i不回溯, 而是将模式串下标j回溯到合适的地方,再继续比较 Tj ,Si.

时间复杂度极端情况是 O(N*M), 但是一般情况下总能保证O(N+M).

　　假定串 S( i-j+1, i ) 与 模式串 T( 1, j ) 匹配时, Si != Tj 不匹配,此时需j最短回溯到 k,

　　则存在 T(1,k-1) = T( j-k+1, j-1 ), 此时 k = next[j], 再令 Si 与 Tk 比较.

　　则我们得出 next[] 的定义:

　　　　next[i] = 0, 当 i = 0

　　　　next[i] = Max{ k | 1 < k < j, 且 T(1,k-1) = T(j-k+1,j-1),当此集合不空时 }

　　　　next[i] = 1, 其它情况.

1 int kmp( char *S, char *T ){ // 主串S,模式串T, 下标皆从1开始.
2 int la = strlen(S), lb = strlen(T);
3 int i = 1, j = 1;
4 while( i <= la && j <= lb ){
5 if( j == 0 || S[i] == T[j] ) i++, j++;
6 else j = next[j]; //模式串向前滑动到 nxt[j]位置,继续比较
7 }
8 if( j > lb ) return i-j; //匹配成功,返回最初匹配点
9 return -1; //匹配失败
10 }
next数组 [color=#FF0000][/color]

　　next函数,表示对于模式串而言,其最长的前缀与后缀相同的长度.

　　有定义知道 next[1] = 0;

　　设 next[j] = k, 这表明在模式串中存在下列关系

　　　　T( 1, k-1 ) = T( j-k+1, j-1 )

　　此时 next[ j+1 ]的取值有两种情况:

　　　　1. 当 T[k] == T[j] 时, 此时有 T( 1,k ) = T( j-k+1, j ), 则此时 next[ j+1 ] = next[j] + 1

　　　　2. 但 T[k] == T[j] 时, 此时可把求 next函数值的问题看作是一个模式匹配的问题.整个模式串既是主串又是模式串.

按照前面主串与模式串匹配的思路, 则当 T[k] != T[j] 时, 应将模式串下标 k滑动到 next[k]时, 再与 T[j] 比较,

　　　　最终可能出现两种情况:

　　　　　　　　1. 匹配到, 此时 next[ j+1 ] = next[ k` ] + 1;

　　　　　　　　2. 一直无法匹配则最后会得到, next[ j+1 ] = 1.

1 void GetNext( char *T, int *nxt ){
2 int len = strlen(T);
3 int i = 0, j = 1;
4 nxt[1] = 0;
5 while( j <= len ){
6 if( i == 0 || T[i] == T[j] )
7 nxt[ ++j ] = ++i;
8 else i = nxt[i];
9 }
10 }　　　　　　


应用模型

　　1. 模式串是否在主串中出现.

　　　　 poj 3080 Blue Jeans

　　　　枚举其中一个串的主串,然后与其他串进行KMP匹配即可. 此题细节处理使用了STL.string.substr( 起点l, 数量num ).

　　　 poj 3450 Corporate Identity

　　　　同上题差不多.但是这题 N达到了4000,串长度为200, 暴力肯定不行,二分枚举长度,然后进行匹配.

　　　　poj 1226 Substrings 　　　　

　　　　本质还是一样求模式串在主串中是否出现. 拿一个串从大到小暴力分解子串. 与其他原串与inverse串匹配.

　　　　poj 2541 Binary Witch

　　　　这一题还是暴力过去的.不过据说有 dp(i,j)的状态压缩, 字符逆序处理,然后KMP.string.substr挺管用..

　　2. 模式串在主串中的出现次数.

　　　　poj 3461 Oulipo

　　　　因为next函数值意义为最长的前缀与后缀相同长度. 当模式串Tj与主串Si 在 (i,j)匹配完成,此时下一个可能出现的匹配的起始位置为 (i+1,lenS) , 若我们使主串下标i回溯时,则会使时间复杂度达到O(N*M), 因为是要找与模式串相同的. 则我们只需要令j = next[j], 此时 T( 1, nxt[j]-1 ) = S( i-nxt[j]+1, i-1 ) , 表示其最长的前缀和后缀,此时i就无需回溯,然后继续匹配.统计次数即可.

　　　　核心点是主串下标不回溯, 并利用 next函数意义(最长的相同前缀和后缀)

　　　　poj 3167 Cow Patterns 有点难度.

　　　　这题是求一模式串 与 主串的相对大小匹配,所有位置.

　　　　如果给我们的是绝对大小,那么我们就能用 poj 3461的解法,每次匹配到了再令j = next[j] 即可,得出所有匹配位置.

而对于相对大小,我们需要使用到一个结论:

　　　　两个偏序序列, 对于其每一位, 其前面比起小的数量,和与其相等的数量, 都相等, 则两个偏序序列相同. (小,和等于都一样,则大于也一样- -..)

利用这个结论,我们就可以判定快速判定两个偏序序列是否相同. 从宏观的角度上看, 还是一样对 模式串求个next函数,然后再对 模式串与主串kmp匹配.

　　　　这里比较特殊的地方, 就在于, 两个值的比较, 根据定义, (1,k) = (i-k+1,i) 时, next[ i+1 ] = k+1 . 模式串中的总是用的前缀,而主串中一直用的后缀.

那么我们就可以预处理出 模式串的 m1(小于数量), m2(等于数量), 对于主串则使用 树状数组来维护, 当失配时,则为维护树状数组.具体如下.

　　　　若当前模式串 T(1,j) 与主串S( i-j+1, i ) 比较时, Tj != Si, 此时失配, 需要令 j = next[j] 再进行匹配. 模式串我们预处理了前缀.可以O(1)得出.无需处理.

而,对于主串而言, 前面的树状数组中存放的元素是, ( i-j+1, i ), 当令 j = next[j], 再与 Si比较时, 此时 树状数组中 应该存放序列 S( i-next[j]+1, i ) , 那么我们就

需要手动的删除掉 S( i+j-1, i-next[j] ) 这一段. 对于模式串自身求next函数,操作一样.


　　 3. 求循环节长度 / 最小覆盖子串长度 图形介绍 http://blog.csdn.net/fjsd155/article/details/6866991

　　　　poj 2406 Power Strings

　　　　kmp的nxt函数过程,会将模式串一个周期一个周期的构造, 对于 (i+1) - nxt[ i+1 ] (因为我们是通过 Ti与Tj 得到nxt[i+1]的),

　　　　即是其周期长度, 当 目前总长度 i % { (i+1)-nxt[i+1] } = 0, 时, 则意味着最后一个周期构造完成, 否则 i % { (i+1)-nxt[i+1] }表示目前最后一个周期串已构造出了多少个.

　　　　poj 2185 Milking Grid 有点难度,且题意不是很好懂.

　　　　这题所指的最小覆盖长度,其实就是最小循环周期长度.当然并非是完成循环,换句话说是 单元串a,重复k次可以覆盖str, 其中streln(a*k) >= strlen(str),

　　　　并且我们知道 N-next(N)是最小覆盖长度, 之后的 j = next( next(N) )逐渐增大, 解决此题的思路是:

　　　　首先处理宽度width, 寻找所有行都有的最小覆盖宽度 w`, 极端情况是 c. 因为每个串都能覆盖本身.

　　　　之后在将 r长度为c的串(1,c). 截断成 r个长度为width的串(1,width), 然后对这c个串进行一个HASH值.得到一个数组key[C].

　　　　然后对这个数组求一个next函数, 高度 high 即为 C - next(C),

　　　　poj 1961 Period

　　　　 对于模式串本身求next函数值时,其实其是一个一个周期在构造串, N-next(N)表示串的循环周期, 而N%(N-next(N))即为最后一个周期已构造串的数量.



　　 4. 求串的 前缀最大长度, 且其前缀与后缀相同. (最大前缀与后缀)

　　　　poj 2752 Seek the Name

　　　　对于串T(1,i), 我们考虑 next函数定义

　　　　next[ i ] = Max{ k | 1 < k < i && T( 1,k-1 ) = T( i-k+1, i-1 ) 且集合不为空, } , 则可以知道,

字串(1,next[ i-1 ]) 即为串 T(1,i-1) 的最大前缀与后缀. 此时 再考虑串 [1,next[i-1] ]的最大前缀与后缀,

如此反复,直到 i = 0 结束. 因为定义 k < i, 其实其本身 (1,i)也是其最大前缀和后缀. 逆序输出即可.

　　　　再重复说明下, kmp的next函数值是通过比较 Ti 与 Tj , 若 Ti = Tj ,则 next[ j+1 ] = i+1, 所以,

我们要获取i位置的最后匹配位置,则需要用next[ i+1 ], 因为其包含了 Ti = T[ next[i+1] - 1 ].