Josephus问题
参考：https://sites.google.com/site/chaishushan/%E8%80%81%E6%96%87%E7%AB%A0/josephus%E9%97%AE%E9%A2%98/josephus%E9%97%AE%E9%A2%98%E5%85%A8%E6%96%87
http://acm.nudt.edu.cn/~twcourse/JosephusProblem.html
约瑟夫环
. 问题的由来
Josephus问题是以10世纪的著名历史学家Flavius Josephus命名的. 据说, Josephus如果没有数学才能, 他就不会在活着的时候出名! 在犹太人和古罗马人战争期间, 他是陷如罗马人陷阱的41个犹太反抗者之一. 反抗者宁死不做俘虏, 他们决定围成一个圆圈,且围绕圆圈来进行, 杀死所有第3个剩下的人直到没有一个人留下. 但是, Josephus和一个不告发的同谋者感到自杀是愚蠢的行为, 所以以他快速计算出在此恶性循环中他和他的朋友应该站的地方. 因此, 他们活了下来...
2. 平凡的解法
我们用一个循环连表来模拟他们的行为。为了省事，我直接找了一个一个java代码：
class Josephus
{
static class Node
{
int val; Node next;
Node(int v) { val = v; }
}
public static void main(String[] args)
{
int N = Integer.parseInt(args[0]);
int M = Integer.parseInt(args[1]);
Node t = new Node(1);
Node x = t;
for (int i = 2; i <= N; x = (x.next=new Node(i++)));
x.next = t;
while (x != x.next)
{
for (int i = 1; i < M; i++) x = x.next;
x.next = x.next.next;
}
Out.println( "Survivor is " + x.val);
}
}
3.普通的动态规划算法
除去一人之後，剩下來的人重新編號，就變成了子問題了。觀察原編號和新編號的關係，可得到一遞迴公式：
f(n, m) = (f(n-1, m) + m) % n //将n中的一个点i删除之后，则重新编号变为0,//1,2,3,4...,k,..,n-1,编号为k的点，在删除i之前的编号应该为(k+m)%n f(1, m) = 0; f(n, m)：最後活下來的人的編號。int josephus(int n, int m)
{
int ans = 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
ans = (ans+m)%i;
return ans;
}
第k个被杀的人
3. 递归公式
喜欢这个问题的朋友肯定不满足上面的方法，很想知道更简单的算法。 其实Josephus问题中的序列确实存在递归的公式。但是递归公式的推导 比较麻烦，我就直接给出结果。如果想了解详细过程可以查阅相关资料。
假设有n个人，每次杀第m个人，则k为第k个被杀死的人...
j1: x <- k*m
j2: if(x <= n) 输入结果x
j3: x <- floor((m*(x-n)-1) / (m-1)), goto j1
以C语言实现如下：
unsigned josephus(unsigned m, unsigned n, unsigned k)
{
unsigned x = km;
while(x <= n) x = (m*(x-n)-1)/(m-1);
return x;
}
4. m为2的情况
现在考虑一种m为2的特殊情形。 这时候有更简单的递归公式：
x = 2*n + 1 - (2*n+1-2*k)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k))
其中，log2((2*n)/(2*n+1-2*k))为计算(2*n)/(2*n+1-2*k)以2为底的对数，结果向下取整数。
联系2^log2((2*n)/(2*n+1-2*k))整体，可以理解为将(2*n)/(2*n+1-2*k)向下舍取到2的幂。有些地方把这中运算称为地板函数，我们定义为flp2，下面是C语言的实现：
unsigned flp2(unsigned x)
{
unsigned y;
do { y = x; x &= x-1; }while(x);
return y;
}
其中x &= x-1;语句是每次把x二进制最右边的1修改为0，直到最左边的1为止. 这种方法也可以用来计算x二进制中1的数目，当x二进制中1的数目比较小的时候算法的效率很高。
m为2的代码实现:
unsigned josephus2k(unsigned n, unsigned k)
{
unsiged t = (n<<1) - (k<<1) + 1;
return (n<<1)+1 - t*flp2((n<<1)/t);
}
5. m为2的情况, k为n的情形
该问题一般都是计算最后一个被杀的人的位置。现在考虑更为特殊的，m为2的情况, k为n的情形。
令k=n可以化简前边m=2的公式：x = 2*n + 1 - (2*n+1-2*n)*2^log2((2*n)/(2*n+1-2*n))
即，x = 2*n + 1 - 2^log2(2*n)。
从二进制的角度可以理解为：将n左移1位（即乘以2），然后将最右端设置为1（既加1），最后将左端的1置为0（既减去2*n的向下取的2的幂）。更简单的描述是将n的二进制表示循环向左移动一位!
例如: n为1011001 -> 0110011 -> 110011
用代码实现为：
unsigned josephus2n(unsigned n)
{
return ((n-flp2(n))<<1)|1;
}
void JosephusQueue(vector<int> &vt, int m, int k) {
queue<int> q;
int n = vt.size();
for (int i = 0; i < vt.size(); ++i) {
q.push(vt[(i+k)%n]);
}
int ans;
while (!q.empty())
{
for (int i = 0; i < m -1 ; ++i) {
int t = q.front();
q.pop();
q.push(t);
}
ans = q.front();
q.pop();
}
cout<<ans<<endl;
}
void JosephusDP(vector<int> &vt, int m, int k) {//从第k个人开始
int ans = 0;
int n = vt.size();
//长度为1的vt，被选中人的编号肯定是0
for (int i = 2;i <= n; ++i) {//从长度为2的vt开始遍历;最后被选中的人在长度为i的环中的坐标是ans
ans = (ans + m)%i;
}
cout <<ans+k<<endl;
}