齐次坐标(Homogeneous Coordinates)

问题 : 两条平行 线 会相交 在欧几里得几何空 间 里，两条平行 线 永 远 都不会相交。但是在投影空 间 中，如右 图 中的两条 铁轨 在地平 线处 却是会相交的，因 为 在无限 远处 它 们 看起来相交于一点。 在欧几里得（或称笛卡 尔 ）空 间 里描述 2D/3D 几何物体是很理想的，但在投影空 间 里面却并不 见 得。 我 们 用 (x, y ) 表示笛卡 尔 空 间 中的一个 2D 点，而 处 于无限 远处 的点 (∞,∞) 在笛卡 尔 空 间 里是没有意 义 的。投影空 间 里的两条平行 线 会在无限 远处 相交于一点，但笛卡 尔 空 间 里面无法搞定 这 个 问题 （因 为 无限 远处 的点在笛卡 尔 空 间 里是没有 意 义 的），因此数学家想出 齐 次坐 标这 个点子来了。 解决 办 法: 其次坐 标 由 August Ferdinand Möbius 提出的 齐 次坐 标 （Homogeneous coordinates ） 让 我 们 能 够 在投影空 间 里 进 行 图 像和几何 处 理， 齐 次坐 标 用 N + 1 个分量来描述 N 维 坐 标 。 比如， 2D 齐 次坐 标 是在笛卡 尔 坐 标 (X, Y) 的基 础 上增加一个新分量 w ， 变 成 (x, y, w) ，其中笛卡 尔 坐 标 系中的大 X ， Y 与 齐 次坐 标 中的小 x ， y 有如下 对应 关系： X = x/w Y = y/w 笛卡 尔 坐 标 中的点 (1, 2) 在 齐 次坐 标 中就是 (1, 2, 1) 。如果 这 点移 动 到无限 远 (∞,∞) 处 ，在 齐 次坐 标 中就是 (1, 2, 0) ， 这样 我 们 就避免了用没意 义 的 "∞" 来描述无限 远处 的点。 为 什么叫 齐 次坐 标 ？前面提到，我 们 分 别 用 齐 次坐 标 中的 x 和 y 除以 w 就得到笛卡 尔 坐 标 中的 x 和 x ，如 图 所示： Homogeneous                Cartesian (x,y,w)                         ==     (x/w, y/w) 仔 细观 察下面的 转换 例子，可以 发现 些有趣的 东 西： Homogeneous              Cartesian (1,2,3)               ==       (1/3, 2/3) (2,4,6)               ==       (1/3, 2/3) (3,6,9)               ==       (1/3, 2/3) (4,8,12)             ==       (1/3, 2/3) ................................ (a,2a,3a)           ==       (1/3, 2/3) 上 例 中，点 (1, 2, 3), (2, 4, 6) 和 (4, 8, 12) 对应 笛卡 尔 坐 标 中的同一点 (1/3, 2/3) 。 任意数量 积 的 (1a, 2a, 3a) 始 终对应 于笛卡 尔 坐 标 中的同一点 (1/3, 2/3) 。因此 这 些点是 “ 齐 次 ” 的，因 为 他 们 始 终对应 于笛卡 尔 坐 标 中的同一点。 换 句 话说 ， 齐 次坐 标 描述 缩 放不 变 性（ scale invariant ）。 证 明 : 两平行 线 可以相交笛卡 尔 坐 标 系中， 对 于如下两个直 线 方程：   Ax + By + C = 0 Ax + By + D = 0 如果 C ≠ D ，以上方程 组 无解；如果 C = D ，那 这 两条 线 就是同一条 线 了。 下面我 们 用 x/w, y/w 代替 x, y 放到投影空 间 里来求解：   A*x/w + B*y/w + C = 0                Ax + By + Cw = 0                                            => A*x/w + B*y/w + D = 0                Ax + By + Dw = 0   现 在我 们 就可以在 C ≠ D 的情况得到一 组 解 (x, y, 0) ，代入得 (C - D)w = 0 ，因 为 C ≠ D ，所以 w = 0 。因而，两条平行 线 相交于投影空 间 中无限 远处 的一点 (x, y, 0) 。 齐 次坐 标 在 计 算机 图 形学中是有用的，将 3D 场 景投影到 2D 平面的 过 程中就用到它了。 转 ：http://www.opengpu.org/bbs/viewthread.php?tid=961