卷积的理解

读书的时候高数学过卷积，后来专业课的时候讲到图像处理也提到卷积。

那到底什么是卷积呢？虽然知道卷积的公式 S_m ⁿ （f(a)f(x-a)）da但是究竟卷积的物理意义到现在也没太理解明白。

今天网上看了一个帖子，用浅显易懂的话，大概讲了一下卷积的意义，理解深刻了些。

先把原文贴过来：

我们都知道这个公式，但是它有什么物理意义呢，平时我们用卷积做过很多事情，信号处理 时，输出函数是输入函数和系统函数的卷积，在图像处理时，两组幅分辨率不同的图卷积之后得到的互相平滑的图像可以方便处理。卷积甚至可以用在考试作弊中， 为了让照片同时像两个人，只要把两人的图像卷积处理即可，这就是一种平滑的过程，可是我们怎么才能真正把公式和实际建立起一种联系呢，也就是说，我们能不 能从生活中找到一种很方便且具体的例子来表达公式的物理意义呢？我想到一种，下面进入正题：
比如说你的老板命令你干活，你却到楼下打台球去了，后 来被老板发现，他非常气愤，扇了你一巴掌（注意，这就是输入信号，脉冲），于是你的脸上会渐渐地（贱贱地）鼓起来一个包，你的脸就是一个系统，而鼓起来的 包就是你的脸对巴掌的响应，好，这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨：假定你的脸是线性时不变系统，也就是说， 无论什么时候老板打你一巴掌，打在你脸的同一位置（这似乎要求你的脸足够光滑，如果你说你长了很多青春痘，甚至整个脸皮处处连续处处不可导，那难度太大 了，我就无话可说了哈哈），你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来，并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了，那么，下面可以 进入核心内容——卷积了！
如果你每天都到地下去打台球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不过当老板打你一巴掌后，你5分钟就消肿了，所以时间长了， 你甚至就适应这种生活了……如果有一天，老板忍无可忍，以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程，这样问题就来了，第一次扇你鼓起来的包还没消肿，第二个 巴掌就来了，你脸上的包就可能鼓起来两倍高，老板不断扇你，脉冲不断作用在你脸上，效果不断叠加了，这样这些效果就可以求和了，结果就是你脸上的包的高度 岁时间变化的一个函数了（注意理解）；如果老板再狠一点，频率越来越高，以至于你都辨别不清时间间隔了，那么，求和就变成积分了。可以这样理解，在这个过 程中的某一固定的时刻，你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢？和之前每次打你都有关！但是各次的贡献是不一样的，越早打的巴掌，贡献越小，所以这就是说， 某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出，然后再把不同时刻的输出点放在一起，形成一个函数，这就是卷积，卷积之 后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿，可是如果连续打，几个小时也消不了肿了，这难道不是一种平滑过程么？反映到 剑桥大学的公式上，f(a)就是第a个巴掌，g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度，乘起来再叠加就ok了，大家说是不是这个道理呢？我想这个例 子已经非常形象了，你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗？
最近要忙开题了，不过周末了还是放松一下吧。其实我真的希望我的朋友们看到这篇文章能给 我留言，发表你们的想法，有不妥之处欢迎提出来。 在本文的下半部分,我 会再讲一个抽象的例子,以便能让大家从卷积中能更好地了解数学与生活的联系。

 

从上面的描述可以较清楚的了解这个式子的具体含义了。

但是问题又出来了，“g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度”，那么这个g(x-a)是怎么来的呢？

f（a）表示a时刻的输入，那么g（a）这个函数表示什么呢？同一a时刻f和g这两个函数的自变量的意义一样吗？

 

后来想了想，可能这样理解吧

f（a）表示a时刻输入g（x-a）表示a时刻对x的影响，而恰好x-a就是x到a的差。

我姑且将g（x）理解成这样一个函数，他表示这个系统时刻a对时刻x的影响系数，这种影响取决于x与a的差，而与x或者a的具体值都无关。因此对于任意一个时刻a，a时刻在x时刻的残留，就是a时刻的输入乘以这个输入对x时刻的影响系统，就是f（a）×g（x-a）。把所有的a积出来，就是x时刻的输入了。

 

这是我个人的理解，欢迎大家来拍砖！