数论读书笔记——因子分解法和费马数

因子分解法和费马数

费马因子分解

我们现在给出一个有趣但不总是有效的因子分解法,这个方法是费马发现的,被称为费马因子分解法。

引理：如果n是一个正的奇数,那么n分解为两个正整数的积和表示成两个平方数是一一对应的。

为了实现费马因子分解法,我们通过寻找形如x^2-n的完全平方数来求方程n=x^2-y^2的根。因此,为了求n的分解,我们在整数序列

t^2-n,(t+1)^2-n,(t+2)^2-n....

中寻找完全平方数,其中t是大于根号n的最小整数。这个过程是有限终止的,这是因为平凡因子分解n=n*1可导出方程

n=((n+1)/2)^2-((n-1)/2)^2

费马数

整数Fn=2^(2n)+1被称为费马数。费马猜想这些整数都是素数。事实上，前面的几个都是素数，但是F5是合数。

定理：费马数的每个素因子都形如2^(n+2)*k+1

例题：F3=2^2^3+1=257的每个素因子一定形如2^5*k+1=32*k+1.又因为不存在小于或等于根号257的这种形式的素数，所以F3是素数

     F6=2^2^6+1时，所有素因子的形式都是2^8k+1=256*k+1.因此我们只需用不超过根号F6的形如256*k+1的素数去做除法检验。即当k=1071的时候得到一个素因子。

费马数分解

这一段书上讲故事的跳过。。

利用费马数证明素数的无穷性

引理：设Fk=2^2^k+1表示第k个费马数，这里k为非负整数，那么对于所有的正整数n，我们有

    F0F1FF2...F(n-1)=(Fn)-2

定理：设m和n为互异的非负整数，则费马数Fm和Fn是互素的

费马素数与几何

定理：一个正规n边行可用尺规来画出当且仅当n是一个2的非负次幂与非负个不同费马素数的乘积