异或操作的应用

1，异或运算的规则：

a) 0 xor 0 = 0

b) 0 xor 1 = 1

c) 1 xor 0 = 1

d) 1 xor 1 = 0

2, 异或运算的性质：

a)  a xor a = 0
b) (a xor b) xor c = a xor (b xor c)
c)  IF a xor b = c THEN a xor c = a xor (a xor b) = (a xor a) xor b = b

3, 异或的应用

Q1: 一个数组，除其中一个元素（如下面的99），其它的都是成对出现的，如何能快速找出那99的位置
……102，102，2，2，44，44，99，23，23，11，11 ……

请参考: 参考贴子

Answer 1：

把所有数组元素全部异或一下则得到非成对出现的元素99，然后顺序查找99的位置。时间复杂度为O(n)。

此解法较通用，适合如下两种特殊情况：

a)，如……102，102，2，2，2， 2，44，44，99，23，23，11，11 ……(连续但存在相同元素)

b)，如...... 102，2，44，23，11，99，11，23，44，2，102......(配对但不连续)

若数据无素不会出现3(a)和(b)中情况，那么可以采用一种更高效的算法：

Answer 2：

折半查找。

若数组a的元素个数为(n+1)，则n+1必为奇数。数组a的序号为0到n。

left = 0; right = n; m = (left+right)/2;

int find99(left,right);

m = (n+0)/2,

IF: m为偶数，也即m两边的数量都为偶数，分别判断a[m]与a[m-1]、a[m+1]的值，若与a[m-1]相等，则99必在左侧，那么接下来就find99(left,m-1)。若与a[m+1]相等，则99必在右侧，那么find99(m+1,right)。若都不相等，则a[m] == 99,return m。
ELSE: 若m为奇数，也即m两边的数量都为奇数，分别判断a[m]与a[m-1]、a[m+1]的值，若与a[m-1]相等，则99必在右侧，find99(m+1,right)。若与a[m+1]相等，则99必在左侧，find99(left,m-1)。若都不相等，则a[m] == 99，return m。

Q2:一个很大的数组，里面有两个数只出现过一次，其他数都出现过两次，把这两个数找出来

ref :参考贴子

Answer 1:

        在题目给出的很大的数组中，除要找的两个不同的数字外，其它的数字都是成对出现的，根据上面说到的两个相同的数字的异或其结果为0。因此，如果将整个数组中的元素进行异或，所得到的结果应该是所求的那两个不成对的数字的异或结果。

        假定数组中两个不同的数字是95 ^ 99，则其异或的结果是0111100b，其中有4位是1，这表明这两个数字的二进制表示中有4位是不同的。(从右往左数) 它们分别是第3、4、5、6这4位，于是我们只需要

       将数组中所有元素中第6位为1的元素和0111100b异或，

or，将数组中所有元素中第5位为1的元素和0111100b异或，

or，将数组中所有元素中第4位为1的元素和0111100b异或，

or，将数组中所有元素中第3位为1的元素和0111100b异或。

就可以得到所求之两个数字中的一个数字。

        不妨以上面最后一条规则为例来进行说明：数组元素中第3位为1的数字，除所求的两个数字之外，都是成对出现的，它们所产生异或的结果肯定是0。而所求的那两个数字当中只有一个数字的第3位1。不妨假定这个数字是a(此时未知)，另外一个要求的数字是b(此时未知)。很明显，将a (此时未知)和0111100b异或就可以得到b (此时已知)，再用0111100b和已经求出来的b (此时已知) 进行异或就可以得到a (此时已知)。比如上面的95的第3位为1，所以用95 ^ 0111100b = 1011111b ^  0111100b = 1100011b = 99，再用99 ^ 0111100b = 1100011b ^ 0111100b = 1011111b = 95。