关于等差等比数列乘积求和的分析

关于等差等比数列乘积求和的分析

问题描述

设数列：

anbn==a1+(n−1)db1q(n−1)

并设：

cn=anbn

求：

∑k=0nck

分析

∑k=0nck====a1b1+a2b2+⋯+anbna1b1+(a1+d)b1q+(a1+2d)b1q2+⋯+[a1+(n−1)d]b1qn−1a1b1+a1b1q+⋯+a1b1qn−1+b1d(q+2q2+⋯+(n−1)qn−1)a1b11−qn1−q+b1d(q+2q2+⋯+(n−1)qn−1)

因此关键在于求和：

S=q+2q2+3q3+⋯+(n−1)qn−1

若：

D=q+q2+q3+⋯+qn−1=q−qn1−q

有：

S=====qdDdqq(q−qn1−q)′q(1−nqn−1)(1−q)−(q−qn)(−1)(1−q)2q1−qn−1(n−nq+q)(1−q)2q−qn(n−nq+q)(1−q)2

综上，

∑k=0nck==a1b11−qn1−q+b1dq1−qn−1(n−nq+q)(1−q)2a1b11−qn1−q+b1dq[(q−qn1−q)′q]