信号与系统9：傅里叶变换性质

讲了很多傅里叶变换的性质，从简单的线性性，以及时域与频域的关系，对偶性，能量的帕斯瓦尔公式，到最重要的卷积性质和相乘性质（调制性质）

1.时域与频域的关系：当时间扩大，频域就相应缩小，视频中一个比较好理解的例子：播放录音时，加快播放速度，声音就会变沉重；减缓播放速度，声音就边尖；

2.线性性,以及帕斯瓦尔挺好理解的，对偶性好像不是很好理解；

3.卷积性质是滤波的基础，相乘性质是调制的基础；

卷积性质，想透露的本质：时域上卷积在时域上可以相乘，讲得有点空，教授讲得是，讲一个信号分解成无数个复指数信号（复指数信号对应的傅里叶变换是是该信号与相对应上的频率响应，叫做该LTI系统的特征函数，频率响应为特征值），由线性性质将所有的复指数信号所对应的输出相加，便可以得到输出也用傅里叶级数表示的方程，不同的是此时的傅里叶系数=输入信号的傅里叶系数与对应的频率响应的乘积。时域上的卷积导致频率上的乘积，不正是可以让滤波截断某些频率嘛？所以为滤波的基础。

相乘性质是调制的性质呢？假设载波为正弦信号，正弦信号的傅里叶变换是两个脉冲函数，时域上的卷积不正是将频谱的搬移嘛？故为调制的基础。

4.比如微分滤波器

由微分性质可以知道，信号微分后的傅里叶变换就是该信号的傅里叶变换乘以jw。我们可以认定该LTI系统的频率响应为jw。有jw与w的关系可以看出，微分滤波器是缩小低频，放大高频信号。比如一张图片，变换快的字面上就为频率高的（也就是边界条件），变换缓慢的就是低频信号，所以将一张图片通过微分滤波器后，得到的结果就是图片边界条件，也就是图片的大致轮廓。

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记住一些重要的信号的傅里叶变换是什么，这样在知道频域上的就不用反变换求了，直接记出来便可！