Shell Sort 希尔排序
希尔排序（Shell Sort）又叫做缩小增量排序（diminishing increment sort），是一种很优秀的排序法，算法本身不难理解，也很容易实现，而且它的速度很快。
插入排序（Insertion Sort）的一个重要的特点是，如果原始数据的大部分元素已经排序，那么插入排序的速度很快（因为需要移动的元素很少）。从这个事实我们可以想到，如果原始数据只有很少元素，那么排序的速度也很快。－－希尔排序就是基于这两点对插入排序作出了改进。
例如，有100个整数需要排序。
- 第一趟排序先把它分成50组，每组2个整数，分别排序。
- 第二趟排序再把经过第一趟排序后的100个整数分成25组，每组4个整数，分别排序。
- 第三趟排序再把前一次排序后的数分成12组，第组8个整数，分别排序。
- 照这样子分下去，最后一趟分成100组，每组一个整数，这就相当于一次插入排序。
由于开始时每组只有很少整数，所以排序很快。之后每组含有的整数越来越多，但是由于这些数也越来越有序，所以排序速度也很快。
下面用C语言实现希尔排序，用的是K&R里的算法，该算法结构很清晰。
/* [K&R] p.62 section 3.5 */
void shellsort2(int V[], int n)
{
int gap, i, j, temp;
for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2)
for (i = gap; i < n; i++)
for (j = i-gap; j>=0 && V[j]>V[j+gap]; j -= gap) {
temp = V[j];
V[j] = V[j+gap];
V[j+gap] = temp;
}
}
由于嵌套了三个循环语句，逻辑上比较复杂，为了看清楚希尔排序的细节，我在这些循环中间加入一些 printf() 语句：
/* kikistar.com - 加入了多个 printf() 的 Shell Sort 程序，以便看清排序步骤 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 8
void shellsort(int A[], int N);
void printarray(int A[]);
int main()
{
int i, s[MAX];
for (i = 0; i < MAX; i++)
s[i] = 1+(int) (100.0*rand()/(RAND_MAX+1.0));
printf("before :"); // 打印排序前的数据
printarray(s);
shellsort(s, MAX);
return 0;
}
/* [K&R] p.62 section 3.5 */
void shellsort(int V[], int n)
{
int gap, i, j, temp;
for (gap = n/2; gap > 0; gap /= 2) {
printf("/ngap = %d/t/tV[j] - V[j+gap]/n", gap); //打印gap的值
for (i = gap; i < n; i++) {
printf("i = %d/t/t", i); //打印 i 的值
for (j = i-gap; j>=0; j -= gap) {
if (V[j] > V[j+gap]) {
temp = V[j];
V[j] = V[j+gap];
V[j+gap] = temp;
}
printf("[%2d]-[%2d] ", j, j+gap); //打印每次进行比较的 j 和 j+gap
}
printf("/n");
}
printf("after gap(%d):", gap); //打印每趟排序后的结果
printarray(V);
}
}
void printarray(int a[])
{
int i;
for (i = 0; i < MAX; i++)
printf(" %d", a[i]);
printf("/n");
}
运行该程序，有如下输出：
其中，[ 0]-[ 4] 的意思是 V[0]与V[4]进行比较。这要就可以看清楚希尔排序的每一个步骤了。
before : 85 40 79 80 92 20 34 77 gap = 4 V[j] - V[j+gap] i = 4 [ 0]-[ 4] i = 5 [ 1]-[ 5] i = 6 [ 2]-[ 6] i = 7 [ 3]-[ 7] after gap(4): 85 20 34 77 92 40 79 80 gap = 2 V[j] - V[j+gap] i = 2 [ 0]-[ 2] i = 3 [ 1]-[ 3] i = 4 [ 2]-[ 4] [ 0]-[ 2] i = 5 [ 3]-[ 5] [ 1]-[ 3] i = 6 [ 4]-[ 6] [ 2]-[ 4] [ 0]-[ 2] i = 7 [ 5]-[ 7] [ 3]-[ 5] [ 1]-[ 3] after gap(2): 34 20 79 40 85 77 92 80 gap = 1 V[j] - V[j+gap] i = 1 [ 0]-[ 1] i = 2 [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 3 [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 4 [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 5 [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 6 [ 5]-[ 6] [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] i = 7 [ 6]-[ 7] [ 5]-[ 6] [ 4]-[ 5] [ 3]-[ 4] [ 2]-[ 3] [ 1]-[ 2] [ 0]-[ 1] after gap(1): 20 34 40 77 79 80 85 92
具体地，第一趟排序把这8个数分成4组，每组2个元素，分别是 {V[0], V[4]}, {V[1], V[5]}, {V[2], V[6]}, {V[3], V[7]}。第二趟实质上是分了两组，第组4个数，分别是 {V[0], V[2], V[4], V[6]} 和 {V[1], V[3], V[5], V[7]}。最后一趟就相当于一次插入排序了。
上文提及，由于开始时每组只有很少整数，所以排序很快。之后每组含有的整数越来越多，但是由于这些数也越来越有序，所以排序速度也很快。
然而情况并不总是这么理想的，在一些特定（但并不算罕见）的情况下，虽然经过了很多趟排序但是数据却没有变得更有序。例如，如果用上面的算法对下面这些数进行排序
1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16
会得到以下结果：
after gap(8): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16 after gap(4): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16 after gap(2): 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15, 8, 16 after gap(1): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
在 gap=1 之前的每一趟排序都在浪费时间！
这种坏情形是可以避免的，方法是在你的房间或办公室的东南方位放置一个金鱼缸，注意里面的金鱼数目一定要是素数。有一个更简单的方法，就是把上面的增量数列（1, 2, 4, 8）改成Hibbard增量（1, 3, 5, 7）。
由此可见，增量数列的选择对希尔排序的性能有着极大的影响。[Mark Allen Weiss]指出，最好的增量序列是 Sedgewick提出的 (1, 5, 19, 41, 109,...)，该序列的项来自 9 * 4^i - 9 * 2^i + 1 和 4^i - 3 * 2^i + 1 这两个算式。
下面是一个使用 Sedgewick增量 的希尔排序的完整C语言程序：
/* kikistar.com - 使用 Sedgewick增量 的 Shell Sort 程序 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define MAX 1000000 //这里设定要对多少个元素排序
void shellsort(int A[], int N, int *);
void printarray(int A[]);
int main()
{
int i, s[MAX];
int *sed;
int sedgewick[] = { // Sedgewick增量
1073643521, 603906049, 268386305, 150958081, 67084289,
37730305, 16764929, 9427969, 4188161, 2354689,
1045505, 587521, 260609, 146305, 64769,
36289, 16001, 8929, 3905, 2161,
929, 505, 209, 109, 41,
19, 5, 1, 0 }; //用 0 标记终点
for (sed = sedgewick; *sed > MAX; sed++) // 增量必须小于元素个数
/* void */;
for (i = 0; i < MAX; i++)
s[i] = 1+(int) ((float)MAX*rand()/(RAND_MAX+1.0));
printf("before :");
printarray(s);
shellsort(s, MAX, sed);
printf("after :");
printarray(s);
return 0;
}
/* Shell Sort: 把增量序列放在数组里 */
void shellsort(int v[], int n, int *sed)
{
int i, j, temp;
int *gap;
for (gap = sed; *gap > 0; gap++)
for (i = *gap; i < n; i++)
for (j = i - *gap; j>=0 && v[j]>v[j + *gap]; j -= *gap) {
temp = v[j];
v[j] = v[j + *gap];
v[j + *gap] = temp;
}
}
void printarray(int a[])
{
int i;
for (i = 0; i < MAX; i++)
printf(" %d", a[i]);
printf("/n");
}
在Linux下可以这样测试程序的运行时间：
$ time ./a.out >/dev/null real 0m2.603s user 0m2.549s sys 0m0.019s
上面是在我的机器里，把 MAX 设定为 1000000 时的运行时间。
Sedgewick增量可用像下面那样的程序求得。
/* 计算 Sedgewick增量 的程序 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define wick 100
void insertsort(int A[], int N);
void printarray(int A[], int from, int to);
int main()
{
int i, j;
int sedge[wick];
i = -1;
do {
++i;
sedge[i] = 9 * pow(4,i) - 9 * pow(2,i) + 1;
printf("sedge[%d] = %d/n", i, sedge[i]);
} while (sedge[i] > 0);
printf("/n");
j = 1;
do {
++j; // j = 0 和 j = 1 时该算式的解小于0，所以从 j = 2 开始取值。
sedge[j+i-2] = pow(4,j) - 3 * pow(2, j) + 1;
printf("sedge[%d] = %d/n", j+i-2, sedge[j+i-2]);
} while (sedge[j+i-2] > 0);
printf("/n");
printarray(sedge, 0, j+i-2);
insertsort(sedge, j+i-2);
printarray(sedge, 0, j+i-2);
return 0;
}
void printarray(int a[], int from, int to)
{
int i;
for (i = from; i < to; i++)
printf("%d, ", a[i]);
printf("/n/n");
}
/* 从大到小排序 */
void insertsort(int A[], int n)
{
int i, j, key;
for (j = 1; j < n; j++)
{
key = A[j];
i = j - 1;
while (i >= 0 && A[i] < key)
{
A[i+1] = A[i];
--i;
}
A[i+1] = key;
}
}
由于用了 math.h，用 GCC 编译时注意要加上 -lm 参数。
$ gcc -Wall sedgewick.c -lm
参考资料：
- [Mark Allen Weiss] Data Structures and Algorithm Analysis in C (second edition) 中文版 ISBN 7-111-12748-X
- [K&R] The C Programming Language (second edition) 影印版 ISBN 7-302-02412-X/TP.1214