2012年北约自主招生的一道数学好题

转载自：善科问答

2012年北约自主招生数学第7题：

设点 A,B,C 分别在边长为1的正三角形三边上，求 AB2+BC2+CA2 的最小值。

解法一：

解法二：

由于是等边三角形，则

解法三：

       在图中把正三角形的边PM关于PN,MN分别作镜面反射。可以得到A'和A''的关系PA'+MA''=PM（原文误写成PA''，已改）。 即PM'上每一个A'都可以对应一个A'',在每一组A'和A''里由直线最短的关系可以在MN和PN上得到相应的最短的AB+BC+CA。那么现在去求直线A'A''的最小值。容易 

这个等腰梯形中，A'和A''分别是所在线段的中点，B'和B''分别先端上是异于A'和A''的点，满足A'B'=A''B''。作B'H'，B''H''⊥A'A''，容易证明△A''B''H'' ≅ △A'B'H',所以，A'H'=A''H''。由斜边和直角边的关系，就有A'A''=H'H'' < B'B''。 这样就证明了A'A''=3/2是最短的那条线段。