96. Unique Binary Search Trees

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Total Accepted: 75913  Total Submissions: 205774  Difficulty: Medium

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
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  Tree Dynamic Programming

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  (M) Unique Binary Search Trees II

分析：
这个问题被提示为动态规划问题，所以必须努力去找到和以前的子问题的联系。
断言：由1,2,3,...,n构建的二叉查找树，以i为根节点，左子树由[1,i-1]构成，其右子树由[i+1,n]构成。
定义子问题：定义f(i)为以[1,i]能产生的二叉搜索树的数目
若数组为空，则只有一种BST，即空树，f(0)=1;
若数组仅有一个元素1，单个节点，f(1)=1;
若数组有两个元素1，2，则有两种可能，f(2)=2；
若数组有三个元素1，2，3，则有5中情况，题目已经说了，
n=4呢？显示此问题玄机的时候到了：寻找与上面已推出子问题的关系：
如果1为根，则左子树0个元素所以1种情况，右子树3个元素（2,3,4），显然为5种情况
如果2为根，则左子树1个元素所以1种情况，右子树2个元素（3,4），显然为2
如果3为根，则左子树2个元素所以2种情况，右子树1个元素（4），显然为1
如果4为根，则左子树3个元素所以5种情况，右子树3个元素（无），显然为1
由此可以得到递推公式：f(i)=f(0)*f(i-1)+...+f(k-1)*f(i-k)+...+f(i-1)*f(0)

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)

借用网上一张图片。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> result(n+1,0);
        result[0]=1,result[1]=1;//初始化
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
                result[i]+=result[j-1]*result[i-j];
        return result[n];    
    }
};

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