How Many Sets I（容斥定理）

题目链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3556

How Many Sets I

 

 

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Give a set S, |S| = n, then how many ordered set group (S₁, S₂, ..., S_k) satisfies S₁ ∩ S₂ ∩ ... ∩ S_k = ∅. (S_i is a subset of S, (1 <= i <= k))

 

Input

 

The input contains multiple cases, each case have 2 integers in one line represent n and k(1 <= k <= n <= 2³¹-1), proceed to the end of the file.

 

Output

 

Output the total number mod 1000000007.

 

Sample Input

 

1 1
2 2

 

Sample Output

 

1
9
题解：输入n和k 分别表示有一个元素个数为n的集合，从中选出它的k个子集，求k个不相交子集的总数
题解：数学题，容斥定理
首先，n个元素的集合的子集有2^n个，每次从中选出k个集合就是总共2^nk种情况，其中包含一个公共元素的情况有C(1,n)*2^(n-1)k,包含两个公共元素的情况有C(2,n)*2^(n-2)*k，根据容斥定理得出总数为　　所有情况-含有一个公共元素的+含有两个公共元素的-含有三个公共元素的+含有四个公共元素的……最后根据二项式公式，得出最后结果为(2^k-1)^n;
介绍一下容斥定理（加法公式）：
引入：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)
公式介绍：




对于这道题来说，要求的是拥有公共元素个数为0的，用容斥定理的推论上式的最后一项，移向即可，现在可以。
代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int M = 1000000007;
 5 #define ll long long
 6 ll f(ll a,ll b)
 7 {
 8     ll res = 1;
 9     while(b)
10     {
11         if(b&1) res = (res*a)%M;
12         a = a*a;
13         a %= M;
14         b= b/2;
15     }
16     return res%M;
17 }
18 int main()
19 {
20     ll n,k;
21     while(~scanf("%lld%lld",&n,&k))
22     {
23         ll ans = f(2,k);
24         ans--;
25         ans = f(ans,n);
26         printf("%lld\n",ans);
27     }
28     return 0;
29 }