【函数式】Monads模式初探——Monad概念

单子

单子（Monad）是一种将函子组合应用的方法。在计算机科学里，单子经常用来代表计算（computation）。单子能用来把与业务无关的通用程序行为抽象出来，比如有用来处理并行（Future）、异常（Option和Try等）、甚至副作用的单子。
单子的flatMap和unit操作作为构建数据类型的基本操作，可以实现很多复杂的高阶函数。

单子的程序描述

Monad定义了unit和flatMap两个函数。Monad都是Functor，因为我们可以用flatMap+unit来实现map。我们可以定义Monad继承自Functor特质。

trait Functor[F[_]] {
  def map[A, B](fa: F[A])(f: A => B): F[B]
}

trait Monad[M[_]] extends Functor[M] {
  def unit[A](a: A): M[A]
  def flatMap[A, B](ma: M[A])(f: A => M[B]): M[B]
}

• unit可以看成是Monad的构造函数或者工厂函数，它用来创建一个Monad实例。unit表示“装箱”。
• flatMap和map函数类似，不同的是它接受的参数f返回的是M[B]。flatMap会对Monad里的每一个元素都产生一个新的Monad容器，然后所有这些容器里的元素会被取出，而组合到一个Monad容器里。
• unit,map,flatMap是Monad的三个必要函数，其中map可以由unit和flatMap来实现

def map[A, B](f: A => B): M[B] =
  flatMap(a => unit(f(a)))

Monad类代码

上面是定义了Monad特质，定义了Monad需要实现的unit和flatMap接口，而实际的monad是指M[_]这个类型构造器。
而下面的M则是指一个Monad类：

class M[A] {
  def flatMap[B](f: A => M[B]): M[B] = ...
}

def unit[A](x: A): M[A] = ...

其他风格的Monad代码

有的Monad风格是这样的：

trait Monad[M[_]] {
  def unit[A](a: A): M[A]
  def flatten[A](mma: M[M[A]]): M[A]
}

上面的flatten也叫join或者bind，它接受一个包裹两层的类型，转换成包裹一层的类型。
其实flatten可以通过flatMap推导出来，def flatten[A](mma: M[M[A]]): M[A] = flatMap(mma)(ma => ma)，所以这个定义和之前的Monad特质的定义时等价的。

单子法则

结合性法则(associative law)

flatMap满足结合性法则
m flatMap f flatMap g == m flatMap (x => f(x) flatMap g)

Kleisli组合法则(kleisli composition)

Monoid的结合性操作op(a, op(b, c)) == op(op(a, b), c)，这对于Monad来说，用flatMap难以表达该操作。
如果不对Monadic值M[A]进行结合性操作，而是对Monadic函数A => M[B]证明结合性操作就会相对容易。
A => M[B]是瑞士数学家Heinrich Kleisli法则的箭头（Kleisli Arrow）。我们可以用Kleisli Arrow来实现一个函数compose：

def compose[A, B, C](f: A => M[B], g: B => M[C]): A => M[C] =
  a => flatMap(f(a))(g)

compose函数满足compose(f,compose(g,h)) == compose(compose(f,g),h)。

恒等法则(identity law)

在Monoid中，identity相对于op操作的作用，在Monad中，unit操作是compose函数的元函数。
通过unit我们可以证明Monad的左右恒等：

compose(f,unit) == f compose(unit,f) == f

unit操作还满足下面两个等式：

unit(x) flatMap f == f(x) m flatMap unit == m

单子的形象解释

如果说functor是应用一个函数到包裹的值，那么monad则是应用一个返回包裹值的函数到一个包裹的值。

上图表示，首先获得一个Monad，其次定义一个返回Monad的函数如half，最后结果也会返回一个Monad。
这里half函数是输入一个值然后返回一个包裹的值，如果输入的是一个包裹的值，那么代码就不工作了。如下面两幅图所示：

Monad在输入一个包裹值到一个函数的过程中要做到的是：

1. 绑定已经解除包裹的值
2. 将已经解除包裹的值输入函数
3. 一个被重新包裹的值被输出

那么，对一个包裹的值应用多次half函数将是这样的：

小结

Monoid是元素对象的组合的范畴，如果这种元素对象是函数或函子，那么Monad是自函子的组合范畴，Monad也是一种特殊的Monoid子集。
所以正应了那句名言“单子说白了不过就是自函子范畴上的一个幺半群而已（A monad is just a monoid in the category of endofunctors）”。

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