[置顶] 点乘和叉乘及其物理意义（C++STL实现）

1. 一些错误观念的澄清，比如数学意义上的点积和叉积并不对应matlab程序中的.*(按位相乘)和*（矩阵乘法）

2. 内积的物理意义

   • 一种向量到标量的映射
   • 两向量的夹角的计算
   • 两向量是否正交的判断
   • 两向量的相似性（similarity）的度量

3. 叉积的意义

4. 如何使用C++语言（STL容器，运算符重载）：

   • 表示向量
   • 计算内积
   • 计算叉积
   • 计算模长
   • 计算两向量的夹角
   • 计算点到直线的距离

prerequisites

内积（inner product）

又叫点乘，点积（dot product），数量积，顾名思义得到的是一个标量（scalar）。

• 代数定义

向量 x=[x1,x2,…,xn] 和 y=[y1,y2,…,yn] 的内积定义为：

x⋅y=∑inxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn

也即：内积等于向量的对应位相乘再相加，如果从函数的观点来看的话，即是两个矢量相互作用得到一个标量。

内积对相互作用的两个向量 x,y 的长度也即各自所含元素的个数是没有限制的。这点不同于向量叉积，叉积所要的向量长度最高为3.

• 几何定义

欧式空间中，向量是一个同时拥有长度和方向的几何对象。向量 x 的长度记为 ∥x∥ ，两个向量的内积定义为：

x⋅y=∥x∥∥y∥cosθ

θ 标识着两向量的夹角。可见当向量正交时， θ=90∘ ， x⋅y=0 。
当向量 y 被归一化为长度为1的单位向量时， x⋅y=∥x∥cosθ ，我们来考察 x,y 均为二维的情形：

如上图所示，此时二者的内积表示的恰是其中一个向另外一个的投影，投影长度越小，说明二者的夹角越大，反之亦然。当两向量同时归一化为1时，此时内积的定义为： x⋅y=cosθ ，内积越大，说明两者夹角越小，也间接地说明两者也就越相似，故在许多机器学习的算法，常用余弦相似性来度量两特征向量的逼近程度。内积既然能够表征两向量的夹角，自然判断两向量是否正交（值为0）就更不在话下了。

叉积

又叫叉乘（cross product）或者外积，它的计算结果是一个向量而非标量。叉积所在的向量与参与运算的两个向量都正交，也即正交于原来的两个向两边所决定的平面，也即两向量所决定的平面的法向量可通过计算叉积的方式得以确定。当参与运算的两向量是平行的两个向量时，得到的叉积为0，也即可通过计算叉积的方式判断两向量是否平行。

代数定义

• 二维时

x×y=x1y2−x2y1

• 三维时

根据如图的计算方法可得：

u×v====∣∣∣∣iu1v1ju2v2ku3v3∣∣∣∣(u2v3i+u3v1j+u1v2k)−(u3v2i+u1v3j+u2v1k)(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)

几何定义

x×y=∥x∥∥y∥sinθn⃗ 

n⃗  表示叉积方向上的单位向量。

中学知识告诉我们三角形的面积计算公式为：

S=∥x∥∥y∥sinθ2=∥z∥h2

其中 θ 表示的是 x,y 之间的夹角，由以上两个公式我们可得到 三角形的高或者 点到其所对的边的距离，也即点到直线的距离，的计算公式：

h=∥x×y∥/∥z∥

C++ STL实现

• 向量的定义：

typedef vector<double> Vec;

• 矩阵减法

Vec operator-(const Vec& x, const Vec& y)
{
    assert(x.size() == y.size());
                        // #include <cassert>
    Vec tmp;
    for(size_t i = 0; i < x.size(); ++i)
        tmp.push_back(x[i] - y[i]);
    return tmp;         // 返回局部变量的拷贝
}

• 内积和叉积的定义

为了形式的简单，我们在C++中以*表示内积，以^表示叉积，分别对二者进行运算符重载：

double operator*(const Vec& x, const Vec& y)
{
    assert(x.size() == y.size());       // #include <cassert>
    double sum = 0.;
    for (size_t i = 0; i < x.size(); ++i)
        sum += x[i]*y[i];
    return sum;
}

// 三维的情况
Vec operator^(const Vec& x, const Vec& y)
{
    assert(x.size() == y.size() && x.size() == 3);
    return Vec{x[1]*y[2]-x[2]*y[1], 
                x[2]*y[0]-x[0]*y[2],
                x[0]*y[1]-x[1]*y[0]};
            // uniform initialization, C++11新特性
}

// 二维就姑且返回其模长吧
double twoDCrossProd(const Vec& x, const Vec& y)
{
    return x[0]*y[1]-x[1]*y[0];
}

• 模长或者范数的计算

double norm(const Vec& x)
{
    double val = 0.;
    for(auto elem: x)
        val += elem*elem;
    return sqrt(val);   
                    // #include <cmath>
}

• 向量夹角的计算

#define PI 3.14159265358979323846
// 弧长向弧度的转换
double toDegree(double val)
{
    return val*180/PI;
}

double angle(const Vec& x, const Vec& y)
{
    return toDegree(acos(x*y/norm(x)/norm(y)));
            // x*y, 计算二者的内积
}

• 点到直线的距离

// x0, x1, x2 分别表示三角形的三个顶点的坐标
// 这里计算的是点x0到x1和x2构成的直线的距离
double distance(const Vec& x0, const Vec& x1, const Vec& x2)
{
    return twoDCrossProd(x1-x0, x2-x0)/norm(x1-x2);
}

客户端程序：

int main(int, char**)
{
    Vec x{1, 0, 0}, y{0, 1, 0};
    Vec z = x^y;        // 计算叉乘
    copy(z.begin(), z.end(), ostream_iterator<double>(cout, " "));
    cout << endl;
        // 0 0 1

    Vec alpha{1, 0}, beta{1, 1};
    cout << angle(alpha, beta) << endl;
            // 45

    Vec x0{0, 0}, x1{1, 0}, x2{0, 1};   
    cout << distance(x0, x1, x2) << endl;
            // 1/sqrt(2)
    return 0;
}