[总结]有上下界的网络流

最近学习了有上下界网络流，在总结之前先说一些约定：
用 S,T 表示原图中的源点和汇点（如果有），用 SS,TT 表示虚拟的超级源点和超级汇点，用 l(i,j),r(i,j) 分别表示边 (i,j) 的流量下界和流量上界，用四元组 (u,v,w,z) 表示一条边 u→v ，流量为 w ,费用为 z （如果有的话）。

主要有以下四类：

无源汇上下界可行流

例题：SGU194 Reactor Cooling

概念：无源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，没有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，并保证流量守恒。

建模方法：
定义 du=∑l(i,u)−∑l(u,j) ，对于 du>0 的点，连边 (SS,u,du) ，对于 du<0 的点，连边 (u,TT,−du) ，然后求 SS 到 TT 的最大流，当最大流等于 ∑di>0di 时有合法解，每条边的流量为残余网络中反向边的流量+下界流量。

有源汇上下界可行流

例题：POJ2396：Budget

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，并保证流量守恒。

建模方法：连边 (T,S,+∞) ，转化为无源汇上下界可行流。

有源汇上下界最大流

例题：ZOJ3229：Shoot the Bullet

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，保证流量守恒，并使得流量最大。

建模方法：先转化为有源汇上下界可行流，跑一遍 SS 到 TT 的最大流，再跑一遍 S 到 T 的最大流，第二遍的最大流即为答案。

有源汇上下界最小流

例题：sgu176. Flow construction

概念：有源汇上下界可行流就是在一个流量网络中，有源点和汇点，每条边有流量上下界，要求一种合法的方案，保证流量守恒，并使得流量最小。

建模方法：先不连边 (T,S,+∞) ，跑一遍 SS 到 TT 的最大流，然后连边 (T,S,+∞) ，跑一遍 T 到 S 的最大流，然后最小流为边 (S,T) 的流量。