数论及Python实践

二项式系数

(x+y)n=(n0)xny0+(n1)xn−1y1+⋯+(nn)x0yn

二项式系数的定义式：

(nk)=n!k!(n−k)!

二项式系数的递归计算式：

(nk)=(n−1k)+(n−1k−1)

对于上式可利用1式然后直接展开证明。

定义式还是计算式为我们提供了使用高级语言进行编程实践的思路：

利用定义式

# 首先定义阶乘的计算式
def factorial(n):
    return 1 if n==0 else n*factorial(n-1)

def Cnk(n, k):
    return factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k))

利用递归计算式：

def Cnk(n, k):
    if k == 0: return 1
    if n == 0: return 0
                    # 两个if的顺序不可颠倒
    return Cnk(n-1, k)+Cnk(n-1, k-1)

递归计算式的一大缺陷是存在重复计算的问题，未避免重复计算，我们需要经每次计算的结果进行保存，也即是备忘录机制，而备忘录又是动态规划的核心思想，

def memo(func):
    cache={}
    @wraps(func)
    def wrap(*args):
        if args not in cache:
            cache[args] = func(*args)
        return cache[args]
    return wrap
@memo
def Cnk(n, k):
    if k == 0: return 1
    if n == 0: return 0
    return Cnk(n-1, k)+Cnk(n-1, k-1)

由递归计算式可知我们也可前向计算：

references

[1] python求二项式系数的几种方法及性能对比