【GDKOI2016】小学生数学题（附带了乘法取模黑科技）

题目描述

给定 n,p,k ，其中 p 是质数。
求 ∑ni=11i(modpk)
题目保证答案是 PQ 的形式，且 Q−1 ，即 Q 对 pk 的逆元存在。

npk≤1018
p≤105

分析

先考虑所有变量的范围
k≤70
n≤1018

类似于求 n!modp 的思路。

∑ni=11i=1p∑⌊np⌋i=11i+∑0<a<p,a+bp≤n1a+bp

那么这个式子的计算就分成了两个部分。

part 1

1p∑⌊np⌋i=11i(modpk)

假如我们可以处理好 1p 的问题，那么剩下的递归计算就可以了。
考虑计算

∑⌊np⌋i=11i(modpk+1)

那么由于题目保证了答案逆元存在，所以

1p∑⌊np⌋i=11i=∑⌊np⌋i=11imodpk+1p(modpk)

分子必定含有 p 的因子，具体证明的话，

a=b(modc)⇔ap=bp(modcp)

结合这个式子倒推一下就可以得到了。

part 2

∑0<a<p,a+bp≤n1a+bp

现在要处理的就是快速地计算 ∑(a+bp)−1
考虑按 a 分组，推导

原式=∑⌊n−ap⌋b=01a+bp=∑⌊n−ap⌋b=011+bpaa(modpk)

考虑 11−x=x0+x1+x2+⋯
那么

原式=∑⌊n−ap⌋b=0∑+∞k=0(−bpa)ka=∑⌊n−ap⌋b=0∑+∞i=0(−bpa)ia(modpk)

由于括号内那项含 p ，因此当 i≥k 时，和式里面的项就为 0 了。
考虑交换枚举顺序，则有

原式=∑k−1i=0(−pa)i∑⌊n−ap⌋b=0bia(modpk)

问题成功地转化成了自然数幂求和问题，用矩阵乘法处理一下就可以了。

考虑时间复杂度。

T(n,k)=T(np,k+1)+k3+kP

因此总的时间复杂度上界约为 O(k3lognp+kPlognp)

备注

注意中间可能要有64位整数相乘后取模的过程。
用黑科技就可以跑得飞快了。

附一下黑科技的代码

LL mult( LL A, LL B, LL Mo )
{
    LL temp = ( ( LL ) ( ( db ) A*B/Mo+1e-6 ) * Mo );
    return A*B - temp;
}