poj2115 扩展欧几里德算法小结
扩展欧几里德算法源于欧几里德算法。
欧几里德算法：gcd（a，b）= gcd（b，a%b）。
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，
而r = a - kb，因此d|r 因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
拓展欧几里德是用来求二元一次不定方程a*x+b*y=gcd(a,b),---我们这样想 对于a'=b, b'=a%b=a-(a/b*b),
a*x+b*y=gcd(a,b)
a'*x0+b'*y0=gcd(a',b')=gcd(a,b)=a*x+b*y
b*x0+(a-a/b*b)y0=a*x+b*y
a*y0+b*(x0-a/b*y0)=a*x+b*y
所以： x=y0 ; y=x0-a/b*y0
扩展欧几里德算法如下：
__int64 x, y; //x,y是a*x+b*y=gcd(a,b)的解
__int64 Extended_Euclid(__int64 a, __int64 b) {//返回值为a，b最大公约数
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
__int64 m = Extended_Euclid(b, a % b);
__int64 tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return m;
}
还有就是纠结过一点为什么递归到最后x=1，y=0，因为最后是求方程a*x+0*y=a（gcd（a，0）==a），此时只要满足a=1，y为任意值就行，对于每一个y值，最后求出的都是方程的一组解。
例如：求20*x+12*y=4 注意下面是根据上面求解得到的递推公式x=y0 y=x0-a/b*y0由下往上递推得到的
a b ： 20 12
x y ： 3*y0-x0 2*x0-5*y0
a b ： 12 8
x y ： x0-2*y0 3*y0-x0
a b ： 8 4
x y ： y0 x0-2*y0
a b ： 4 0
x y ： x0 y0
所以对于x0 = 1，y0没取一个值，就将得到原方程20*x+12*y=4的一组解，简单起见，y0取0即可。其实算法就是用递归的方式完成递推，用4*x+0*y=4的解通过公式x=y0 ; y=x0-a/b*y0递推求出8*x+4*y=4,
一直递推直到求出20*x+12*y=4的解。
但是往往我们需要求解的方程并不是a*x+b*y=gcd(a,b)而是更常规的a*x+b*y=n
然后可以通过对a*x+b*y=gcd(a,b)方程的求解，转化成为求二元一次不定方程a*x+b*y=n
若gcd（a，b）不能整除n，这个方程无整数解，反之，若解得a*x+b*y=gcd(a,b)的解为x0，y0，
则方程两边同乘n再除以gcd（a，b）得a*（n/gcd(a,b)*x0)+b*(n/gcd(a,b)*y0)=n
所以方程解为x=n/gcd(a,b)*x0，y=n/gcd(a,b)*y0。
更通常的是：我们需要求解方程的最小整数解
若我们已经求得x0,y0为方程中x的一组特解，那么
x=x0+b/gcd(a,b)*t，y=y0-a/gcd(a,b)*t(t为任意整数）也为方程的解
且b/gcd(a,b)，a/gcd(a,b)分别为x，y的解的最小间距，所以x在0~b/gcd(a,b)区间有且仅有一个解，
同理y在0~a/gcd(a,b)同样有且仅有一个解，这个解即为我们所需求的最小正整数解。
为什么b/gcd(a,b)，a/gcd(a,b)分别为x，y的解的最小间距？
解：假设c为x的解的最小间距，此时d为y的解的间距，所以x=x0+c*t，y=y0-d*t（x0，y0为一组特解，t为任意整数）
带入方程得：a*x0+a*c*t+b*y0-b*d*t=n,因为a*x0+b*y0=n，所以a*c*t-b*d*t=0，t不等于0时，a*c=b*d
因为a,b,c,d都为正整数，所以用最小的c，d，使得等式成立，ac，bd就应该等于a，b的最小公倍数a*b/gcd(a,b),
所以c=b/gcd(a,b)，d就等于a/gcd(a,b)。
所以，若最后所求解要求x为最小整数，那么x=(x0%（b/gcd(a,b))+b/gcd(a,b))%(b/gcd(a,b))即为x的最小整数解。
x0%（b/gcd(a,b))使解落到区间-b/gcd(a,b)~b/gcd(a,b)，再加上b/gcd(a,b)使解在区间0~2*b/gcd(a,b)，
再模上b/gcd(a,b)，则得到最小整数解（注意b/gcd(a,b)为解的最小距离，重要）
poj2115
//poj2115
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
__int64 x, y;
__int64 Extended_Euclid(__int64 a, __int64 b) {
if (b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
__int64 m = Extended_Euclid(b, a % b);
__int64 tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return m;
}
int main()
{
__int64 a, b, c, k;
while (scanf ("%I64d%I64d%I64d%I64d", &a, &b, &c, &k)) {
if (!a && !b && !c && !k) break;
__int64 d = (__int64)1<<k; //此处先讲1转化为64位，否则系统默认1为int型，右移32位会溢出
__int64 e = Extended_Euclid(c, d);
if ((b-a) % e) { printf ("FOREVER\n"); continue; }
__int64 t = d / e;
x = (x * (b - a) / e % t + t) % t;
printf ("%I64d\n", x);
}
return 0;
}